이상적분의 정의

이상적분의 정의

정의1

함수 $f$가 고정된 $a$와 $b>a$인 모든 구간 $[a,b]$에서 적분가능하다고 하자. 다음의 극한이 존재하면 $f$의 이상적분improper integral이라 정의한다.

$$ \int _{a}^{\infty} f(x) dx = \lim \limits_{b \to \infty} \int _{a}^{b} f(x)dx $$

이때 좌변의 적분이 수렴한다converge고 하며, $f$ 대신 $\left| f \right|$를 대입했을 때 극한이 존재하면 절대수렴한다converge absolutely고 한다.

설명

이상적분과 관련하여, 적분판정법이라 불리는 정리가 있다.

정리

함수 $f$가 $f(x) \ge 0$이고 구간 $[1, \infty)$에서 단조 감소라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \int_{1}^{\infty}f(x)dx \text{ converges} \iff \sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n) \text{ converges} $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p138 ↩︎

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