미분기하에서 측지선의 정의

미분기하에서 측지선의 정의

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곡면 $M \subset \mathbb{R}^{3}$ 위에서 어떤 곡선을 따라서 움직이는 대상이 있다고 해보자. 전체 공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 봤을 때 그 선이 비록 휘어져있다고 하더라도, 곡면 위에서 움직이는 대상은 스스로 똑바로 앞을 향해 간다고 생각할 수 있다. 그러면 이러한 선을 곡면 위에서의 직선(geodesic)이라고 정의할 수 있다. 우선 평면 위의 직선straight curve이 가지는 성질들을 생각해보자.

  1. 곡률이 $0$이다.
  2. 두 점 사이의 최단 거리이다.
  3. 임의의 $p, q$가 있으면 두 점을 잇는 유일한 직선이 존재함.
  4. 가속도와 탄젠트가 평행하다.

4.는 1.으로부터 나오는데, $\alpha^{\prime \prime} = v^{\prime} \mathbf{T} + v^{2}\kappa \mathbf{N}$에서 $\kappa = 0$이면 가속도와 탄젠트가 평행하다.

곡면위의 직선이라는 개념을 정의하기 위에 '1. 곡률이 0'이라는 점에 주목해보자. 곡면은 국소적으로 봤을 때 접평면과 같다고 생각할 수 있다. 따라서 곡면 위에 있는 대상의 기준에서 봤을 때, 곡선이 휘어있지 않으려면 접평면에서 휘어있지 않으면 된다. 곡면 위의 곡선의 곡률을 나타내는 식은 다음과 같다.

$$ \kappa \mathbf{N} = \mathbf{T}^{\prime} = \alpha^{\prime \prime} = \kappa_{n}\mathbf{n} + \kappa_{g}\mathbf{S} $$

여기서 $\mathbf{S}$가 접평면 위의 벡터이므로 이 방향으로의 곡률이 $0$인 것이 곧 접평면에서 느끼는 곡률이 $0$이라는 말과 같을 것이다. 따라서 곡면 위의 직선을 다음과 같이 정의하자.

정의

곡면 $M$ 위의 단위 속력 곡선 $\gamma : I \to M$의 측지곡률 $\kappa_{g}$가 어디에서나 $0$이면, $\gamma$를 곧은선geodesic, 측지선이라 한다.

$$ \gamma \text{ is geodesic} \iff k_{g} = 0 $$

정리

곡면 $M$의 단위속력곡선 $\gamma$가 주어졌다고 하자. $\gamma$가 곡면 $M$ 위의 단위 속력 곡선이라고 하자. $\gamma$가 측지선일 필요충분조건으로는 다음의 것들이 있다.

(a)

$$ \gamma \text{ is geodesic} \iff \left[ \mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{T}^{\prime} \right] = 0 $$ $\mathbf{x}$를 단순 곡면이라고 하자. 그러면 $\gamma$를 $\gamma(s) = \mathbf{x} \left( \gamma^{1}, \gamma^{2} \right)$와 같이 나타낼 수 있다. 그러면 다음이 성립한다.

(b)

$$ \gamma \text{ is geodesic} \iff (\gamma^{k})^{\prime \prime} + \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} {\Gamma _{ij}}^{k} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} = 0, \quad \forall k=1,2 $$

(c)

$$ \gamma \text{ is geodesic} \iff \gamma ^{\prime \prime}\text{ is normal to } M \text{ at every point.} $$

증명

(a)

$\kappa_{g} = \left[ \mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{T}^{\prime} \right]$이므로 성립한다.

(b)

우선 다음의 식이 성립한다.

$$ \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum_{k=1}^{2} \left( (\gamma^{k})^{\prime \prime} + \sum\limits_{i,j}^{2} \Gamma_{ij}^{k} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} \right) \mathbf{x}_{k} $$

$\gamma$가 측지선이면 $\mathbf{x}_{k}$의 성분인 괄호안의 값이 모두 $0$이므로 위 식은 영벡터이고 $\kappa_{g}$이다. 반대로 $\kappa_{G}=0$이면 위 벡터의 모든 성분이 $0$이므로 성립한다.

이는 가속도의 탄젠트 공간 성분이 $0$이라는 말이며, $\gamma$가 곡면 위에서 등속운동을 한다는 의미이다.

(c)

(b)의 결과에 의해서,

$$ \gamma ^{\prime \prime} = \kappa_{n} \mathbf{n} + \kappa_{g}\mathbf{S} = \kappa_{n}\mathbf{n} \perp M $$


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p109-110 ↩︎

  2. 김강태, 리만 기하학 (2015), p25 ↩︎

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