지너스의 정의와 오일러 지표와의 관계

지너스의 정의와 오일러 지표와의 관계

Definition of Genus and Relation Between Euler Characteristic

Thm 5.4 p190

만약 $M$이 $\mathbb{R}^{3}$의 컴팩트 곡면이면,

$$ \chi = 2(1-g) $$

이때 $\chi$는 오일러 캐릭터리스틱, $g$는 지너스이다.

증명

  • Case 1. $g=0$

    $M \approxsim \mathbb{S}^{2}$, $\chi(\mathbb{S}^{2}) = 2$$

  • Case 2. Asuume $\chi = 2(1-g)$

    $M = $ compact surface of $g=n+1$

    핸들 없앤 걸 $\overline{M}$

    $$ \chi(M) = \chi(\overline{M}) - 2 = 2(1-n) -2 = -2n $$

    $$2(1-g) = 2(1-(n+1)) = -2n$$ 따라서 같다.

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