지수 함수

지수 함수

개요

지수 함수Exponential Function는 거듭 제곱의 일반화로써, 수학 전반에서 분과를 가리지 않고 등장한다. 원래 거듭제곱에서 밑 $a > 0$ 은 반드시 $a = e$ 일 필요는 없으나, 밑변환 공식이 있어 어떤게 두든지도 본질적으로 상관 없다. 편의상 지수 함수라 하면 그 밑은 다음과 같이 $e$ 로 본다.

정의 1

$x, y \in \mathbb{R}$ 이라고 할 때, 복소수 $z \in \mathbb{C}$ 에 대해 $\exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 를 다음과 같이 정의한다. $$ \exp z = e^{z} = e^{x + iy} = e^{x} \left( \cos y + i \sin y \right) $$


유도

교과과정에서 똑같이 했었지만 조금 더 어려운 용어로 설명하겠다. 편의상 밑은 $e$ 로 통일하고, 리뷰하는 느낌으로 설명할 뿐 고등학생 눈높이까지 내려가 자세히 납득시키진 않곘다.

자연수 $\mathbb{N}$

우선 지수 함수의 가장 아래에 있는 거듭제곱은 어떤 자연수 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 다음과 같이 자연스럽게 나타낼 수 있다. 여기서 $e$ 의 윗첨자로 쓰이는 $n$ 은 $e$ 이 몇번 곱했는지를 직관적으로 나타냈다. $$ e^{n} = \overbrace{e \cdot e \cdots e}^{n \text{ Times}} $$ 또한 두 자연수 $n, m \in \mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립함을 어렵지 않게 확인할 수 있다. $$ e^{n+m} = e^{n} e^{m} $$

정수 $\mathbb{Z}$

체 공리에 따르면 모든 실수 $a \ne 0$ 에 대해서는 곱에 대한 역원 $a^{-1}$ 이 존재한다. 다시 말해, 모든 $a = e^{n}$ 에 대해 다음을 만족하는 $a^{-1}$ 가 존재해야한다. $$ 1 = a \cdot a^{-1} = e^{n} \cdot a^{-1} $$ 직관적으로 이것은 $e$ 를 몇 번 나누는가에 해당된다. 이 역원을 $a^{-1} = e^{-n}$ 과 같이 나타냄으로써 지수함수는 정수 전체로 확장된다.

유리수 $\mathbb{Q}$

두 정수 $n,m \in \mathbb{Z}$ 과 $a^{m}$ 에 대해 다음을 만족하는 $e^{n}$ 을 생각해보자. $$ a^{m} = e^{n} $$ 이는 $e$ 를 $n$ 번 제곱하면 $a^{m}$ 과 같다는 것이다. 이제 $a = e^{ {{ n } \over { m }} }$ 이라고 적어보면 $$ a^{m} = \left( e^{ {{ n } \over { m }} } \right)^{m} = \overbrace{e^{ {{ n } \over { m }} } \cdots e^{ {{ n } \over { m }} }}^{m \text{ Times}} $$ 와 같이 나타낼 수 있고, 지수함수가 유리수로 잘 확장되었음을 알 수 있다.

실수 $\mathbb{R}$

실수의 조밀성에 따라 모든 실수 $x \in \mathbb{R}$ 으로 수렴하는 유리수의 수열 $\left\{ r_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ 이 존재해야한다. 이에 따라 실수 $x \in \mathbb{R}$ 에 대한 $e$ 의 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다. $$ \exp(x) = e^{x} := \lim_{k \to \infty} e^{r_{k}} $$

복소수 $\mathbb{C}$

복소수의 극좌표 표기: 복소수 $z \ne 0$ 는 복소평면 상의 점 $P(x,y)$ 에 대응되며, 선분 $\overline{OP}$ 의 길이 $r := |z|$ 와 $x$ 축과 $\overline{OP}$ 가 만드는 시계반대방향의 각 $\theta$ 을 통해 다음과 같이 극좌표 표기Polar Representation를 할 수 있다. $$ z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) $$

마지막으로 복소함수로의 확장은 위와 같이 형식적으로 이루어진다. 위 인용에서 $$ r = e^{x} \\ e^{iy} = \cos y + i \sin y $$ 이므로 다음을 자연스럽게 얻을 수 있고, 복소함수의 일종으로써 지수함수라 정의한다. $$ \exp z = e^{z} = e^{x + iy} = e^{x} \left( \cos y + i \sin y \right) $$


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p24. ↩︎

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