동역학계의 엄밀한 정의

동역학계의 엄밀한 정의

Definition of dynamic System

정의 1

(상태) 공간 $X$ 와 시점 $t \in T$ 에 대해 오퍼레이터 $\varphi^{t}$ 를 플로우Flow라 한다. 플로우의 집합 $F := \left\{ \varphi^{t} \right\}_{t \in T}$ 이 함수합성 연산 $\circ$ 에 대해 $\left( F , \circ \right)$ 가 다음을 만족시키는 그룹이면 트리플 $\left( T, X, \varphi^{t} \right)$ 를 동역학계Dynamic System라 한다. $$ \begin{align*} \varphi^{0} =& \text{id} \\ \varphi^{t+s} =& \varphi^{t} \circ \varphi^{s} \end{align*} $$

설명

주로 $T = \mathbb{Z}$ 일 때는 맵, $T = \mathbb{R}$ 일 때는 미분방정식으로 표현될 것이다.

동역학계는 어떤 시점의 스테이트State가 과거의 스테이트로 표현되는 시스템이라고 많이들 설명하는데, 이는 전혀 엄밀하지 않을 뿐만 아니라 사실 그다지 직관적이지도 않다. 수학적인 표현 없이 개념을 파악하기 위해서는 그냥 예로써 맵으로 표현되는 시스템이나 미분방정식으로 표현되는 시스템를 공부하는 게 낫고, 수학다운 표현을 좋아한다면 위의 정의가 마음에 들 것이다.


  1. Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory: p27. ↩︎

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