컨볼루션(합성곱)의 정의

컨볼루션(합성곱)의 정의

정의

$\mathbb{R}$에서 정의된 두 함수 $f$, $g$가 주어졌다고 하자. 아래의 적분이 존재하면 이를 두 함수 $f$, $g$의 합성곱이라 하고 $f \ast g$로 표기한다.

$$ f \ast g(x):=\int _{-\infty} ^{\infty} f(y)g(x-y)dy $$

$f$, $g$가 이산함수일 경우 아래와 같이 정의한다.

$$ (f \ast g)(m)=\sum \limits_{n}f(n)g(m-n) $$

설명

합성곱이라는 번역이 있지만 컨볼루션이라는 말이 더 자주 쓰인다. 대개 위의 정의를 컨볼루션이라고 배우지만, 조금 더 일반적으로 말하자면 이는 적분 변환푸리에 변환에 대한 컨볼루션이다. 교환 법칙, 분배 법칙 등 여러 좋은 성질을 가지고 있기 때문에 다방면으로 쓰인다.

이산 합성곱의 경우, 해석적 정수론에서는 조금 다르게 정의하기도 한다.

합성곱이 정의될 조건은 다음과 같다

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