복소수의 정의

복소수의 정의

Definition of complex number

정의 1

  1. 이차방정식 $x^{2} +1 = 0$ 의 해 $x = \sqrt{-1}$ 을 허수Imaginary Number라 한다.
  2. 두 실수 $x,y \in \mathbb{R}$ 에 대해 $z = x + iy$ 꼴의 수를 복소수Complex Number라 하고 $(x,y)$ 와 같이 나타내기도 한다. 이 때 $\text{Re} (z) = x$ 와 $\text{Im} (z) = y$ 를 각각 $z$ 의 실수부Real Part허수부Imaginary Part라 한다.
  3. 모든 복소수의 집합을 $\mathbb{C}$ 로 표기한다. 두 복소수 $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ 가 같다Equal는 것은 다음과 같이 실수부와 허수부가 각각 같다는 것이다. $$ \text{Re} z_{1} = \text{Re} z_{2} \\ \text{Im} z_{1} = \text{Im} z_{2} $$
  4. 복소수의 크기를 모듈러스Modulus라 부르며, 다음과 같이 정의된다. $$ | z | := \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$

설명

  • 허수부 $\text{Im} z = y$ 에는 허수 $i$ 가 곱해지지 않음에 주의하자.
  • 물리학, 공학에서는 $i$ 가 전류를 나타내기 때문에 허수를 $j := \sqrt{-1}$ 로 나타내기도 한다.
  • 교과과정에서는 복소수를 나타낼 때 흔히 $1 + 2i$ 와 같이 $i$ 를 수 뒤에 적지만, 수학에 가까운 문헌일수록 $1 + i2$ 와 같이 $i$ 를 수 앞에 적는 경향이 강해진다. 여기에는 더 이상 $i$ 를 문자로 보지 않고 다른 수들과 다를 바 없이 동등한 수로써 취급하겠다는 의도가 있으며, 쓰다보면 $i$ 를 기준으로 앞이 실수부, 뒤가 허수부로 구분되어 실용적으로도 유용한 표기임을 알 수 있다.

역사

역사적으로 허수는 1545년, 확률론의 창시자기도 한 카르다노Cardano의 저서 아르스 마그나Ars Magna에서 처음으로 소개되었다. 실제로 수학계에서 완전히 받아들여진 것은 19세기쯤에서나 되어서였다. 가우스Gauss는 $i$ 에 상상속의 수Imaginary Number라는 현재의 이름을 지어주고 대수학의 기본정리의 증명에 사용했다. 기호 $i$ 자체는 오일러Euler의 1777년 회고록에서 등장한다.

복소평면 2

$$ \mathbb{C} \ni x + iy = (x,y) \in \mathbb{R}^{2} $$

정의에서 짐작할 수 있듯 복소수 $\mathbb{C}$ 는 $2$차원 평면 $\mathbb{R}^{2}$ 와 같이 볼 수 있고, 실제로도 같은 논의를 대수적으로 이끌어낼 수 있다. 기호 그대로 $x$ 는 $x$ 축, $y$ 는 $y$ 축을 나타낸다고 보면 이제 이 둘은 실수축, 허수축을 의미하게 될 것이다. 피타고라스의 정리를 생각해봤을 때 복소수의 크기 모듈러스가 $| z | := \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 와 같이 정의되는 것은 아주 상식적이다.

체 공리

$$ \begin{align*} z_{1} + z_{2} =& \left( \text{Re} z_{1} + \text{Re} z_{2} , \text{Im} z_{1} + \text{Im} z_{2} \right) \\ z_{1} \cdot z_{2} =& \left( \text{Re} z_{1} \text{Re} z_{2} - \text{Im} z_{1} \text{Im} z_{2} , \text{Re} z_{1} \text{Im} z_{2} - \text{Im} z_{1} \text{Re} z_{2} \right) \end{align*} $$

두 복소수 $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해 이항연산 덧셈Sum $+: \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}$ 과 곱셈Product $\cdot: \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}$ 을 위와 같이 정의하면 $\mathbb{C}$ 는 대수적으로 Field가 되며, $\mathbb{C}$ 을 복소수체Complex Field라고 부른다. 해석개론에서의 실수체 $\mathbb{R}$ 과 마찬가지로 체 공리가 모두 성립한다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p1~4. ↩︎

  2. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p8~9. ↩︎

댓글