대칭행렬, 반대칭행렬

대칭행렬, 반대칭행렬

정의1

임의의 정사각행렬 $A$가 다음의 식을 만족하면 $A$를 대칭행렬symmetric matrix 이라고 한다.

$$ A=A^{T} $$

이때 $A^{T}$는 $A$의 전치행렬이다. $A$가 다음의 식을 만족하면 $A$를 반대칭행렬anti-symmetric matrix이라고 한다.

$$ A =-A^{T} $$

설명

전치행렬의 정의에 의해 정사각행렬이 아닌 행렬은 대칭행렬, 반대칭행렬이 될 수 없다. $A$가 반대칭행렬이라면 정의에 의해 $a_{ii}=-a_{ii}$이므로 대각 성분은 반드시 $0$이다.

성질

$A$, $B$가 같은 크기의 대칭행렬이고, $k$는 임의의 상수라고 하자.

(a) $A^{T}$는 대칭행렬이다.

(b) $A \pm B$는 대칭행렬이다.

(c) $kA$는 대칭행렬이다.

(d) $A$가 가역이면, $A^{-1}$도 대칭행렬이다.

(e) $A$를 $m \times n$ 행렬이라고 하자. 그러면 $AA^{T}$는 $m \times m$ 대칭행렬이고, $A^{T}A$는 $n \times n$ 대칭행렬이다.

(f) $A$가 가역이면, $A^{T}A$와 $AA^{T}$도 가역이다.

증명

(d)

$A$가 가역행렬이라고 하자. 그러면 $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$이므로 $A^{-1}$도 대칭행렬이다.

(e)

$A$를 $m \times n$ 행렬이라고 하자. 그러면 $AA^{T}$의 크기는 $(m \times \cancel{n} ) \times (\cancel{n} \times m) = m \times m$이고 전치행렬의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ (AA^{T})^{T}=AA^{T} $$

따라서 $AA^{T}$는 대칭행렬이다. $A^{T}A$의 경우에도 증명은 같다.

(f)

가역행렬의 성질에 의해, $A$가 가역이면 $A^{T}$도 가역이고 가역행렬의 곱은 가역이므로 $AA^{T}$, $A^{T}A$도 가역이다.

정리

두 행렬의 곱이 대칭행렬일 필요충분조건은 두 행렬의 곱이 교환가능한 것이다.


두 행렬의 곱은 일반적으로 교환가능하지 않다는 점을 유념하자.


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p72-74 ↩︎

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