미분 방정식의 정의와 예

미분 방정식의 정의와 예

정의

한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 또는 그 이상의 독립변수에 대해 미분한 도함수들을 포함하는 방정식을 미분방정식differential equation이라 한다.

$$ \dfrac{dy}{dx}=y $$

$$ \dfrac{d^2y}{dx^2} = y $$

설명

대부분의 물리적인 상황은 1계 혹은 2계 미분방정식으로 표현할 수 있다.

낙하하는 물체

$$ F=ma=mg $$

$$ v=\dfrac{dy}{dt} $$

$$ a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{dy}{dx} \right)=\dfrac{d^2y}{dt^2} $$

$$ \dfrac{d^2y}{dt^2}=g $$

스프링 질량계

$$ F=ma=-ky $$

$$ a= -\dfrac{k}{m}y $$

$$ \dfrac{d^2y}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}y $$

$$ \dfrac{d^2y}{dt^2}+\dfrac{k}{m}y=0 $$

이 때 $ w^2=\dfrac{k}{m}$이라고 하면,

$$ \dfrac{d^2y}{dt^2}+w^2y=0 $$

RLC circuit

$$ L\dfrac{d^2q}{dt^2}+R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{1}{c}q=V(t) $$

슈뢰딩거 방정식

$$ i\hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2 }{2m} \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + u(x)\psi $$

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