📂행렬대수

정부호 행렬

Definite matrix

정의: 정부호 행렬¹

이차 형식 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$가

• 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} > 0$ 을 만족하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 양의 정부호^{positive definite}라고 한다.

• 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} < 0$ 을 만족하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 음의 정부호^{negative definite}라고 한다.

• $\mathbf{x}$ 에 따라서 양수이기도 하고 음수이기도 하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 부정^indefinite이라고 한다.

실수 행렬의 경우에는 정의에서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$부분을 $\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}$로 바꾸어서 생각하면 된다.

설명

이러한 정의는 깔끔하지만 많은 것이 생략되어 있어 머리로 따라가기가 어렵다. 차근차근 수식과 설명을 봐가면서 개념 자체를 받아들여보도록 하자. 이차 형식의 상수가 복소수인 경우, 즉 $A$가 에르미트 행렬인 경우를 생각해보자. $A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$를 보면 $\lambda$ 는 $A$ 의 고유값이 된다. 양변의 왼쪽에 켤레 전치 $\mathbf{x}^{\ast}$를 곱하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \lambda | \mathbf{x} |^{2} $$

여기서 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$이므로 $|\mathbf{x}| ^2 > 0$이고, 에르미트 행렬의 고유값은 실수이므로 $\lambda |\mathbf{x}| ^2$ 역시 실수다. 따라서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$ 는 실수고, 양수인지 음수인지 확인해볼 수 있다는 뜻이다. 행렬과 벡터의 곱으로 썼을 땐 이해하기 어려웠지만 $\lambda |\mathbf{x}| ^2$ 으로 나타내면 한결 알아보기가 쉽다.

거기에 $\lambda |\mathbf{x}|^{2}$ 의 부호를 생각한다면, 항상 $|\mathbf{x}|^{2} >0$이므로, $\lambda$ 의 부호만 생각하면 된다. 결국 영벡터가 아닌 임의의 벡터에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} > 0$라는 말은 $A$ 의 모든 고유값이 양수라는 뜻이다. 반대로 생각하면 음의 정부호 행렬은 모든 고유값이 음수인 행렬이라는 의미이다. 이제 정부호는 원래 음양의 개념이 없는 행렬에 음양(negative/positive)과 같은 개념을 정의(definite)해주는 것으로 생각할 수 있을 것이다. 이러한 내용을 정리로 다듬으면 다음과 같다.

정리

이차 형식 $\mathbf{x}^{\ast} A\mathbf{x}$ 에 대해서,

• $\mathbf{x}^{\ast} A\mathbf{x}$가 양의 정부호이기 위한 필요충분조건은 $A$ 의 모든 고유값이 양수인 것이다.

• $\mathbf{x}^{\ast} A\mathbf{x}$가 음의 정부호이기 위한 필요충분조건은 $A$ 의 모든 고유값이 음수인 것이다.

• $\mathbf{x}^{\ast} A\mathbf{x}$가 부정이기 위한 필요충분조건은 $A$가 적어도 하나의 음수인 고유값과 적어도 하나의 양수인 고유값을 갖는 것이다.

설명

또한 가역행렬일 동치 조건에 의해서, 양의 정부호 행렬과 음의 정부호 행렬은 $0$인 고유값을 가지지 않으므로 가역 행렬이다.

수치선형대수에서는 특히 양의 정부호에 대해 많은 관심을 가지며, 비선형동역학에서는 음의 정부호 행렬의 성질에 따라 시스템에서 평형점의 안정성을 연구하기도 한다. 조건으로써 양의 정부호를 생각해보면 에르미트 행렬이 기본인데다가 고유값이 모두 양수라는, 상당히 강한 조건임을 알 수 있다. 그럼에도 불구하고 좋은 성질을 많이 가지며, 수치해석 뿐만 아니라 통계학 등에서도 두루 쓰이고 있다. 물론 이 세가지 경우가 아닌 양의 준정부호, 음의 준정부호 개념도 있다.

성질

양의 정부호 행렬과 음의 정부호 행렬은 항상 가역 행렬이다.

정리

$2\times 2$ 대칭 행렬 $A$ 에 대해서

• $A$가 양의 정부호이면 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1$은 타원의 방정식이다.

• $A$가 음의 정부호이면 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1$은 그래프를 갖지 않는다.

• $A$가 부정이면 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1$은 쌍곡선의 방정식이다.

정의: 준정부호 행렬

이차 형식 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$가

• 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \ge 0$ 을 만족하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 양의 준정부호^{positive semidefinite}라고 한다.

• 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해서 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \le 0$ 을 만족하면 이차 형식 혹은 행렬 $A$를 음의 준정부호^{negative semidefinite}라고 한다.