전류와 전류밀도

전류와 전류밀도

Current and Current Density

정의1

도선의 어느 지점을 단위시간동안 지나가는 전하량전류current라고 정의한다. 따라서 왼쪽으로 움직이는 음전하와 오른쪽으로 움직이는 양전하는 부호가 같은 전류이다.

단위 시간동안 흐르는 쿨롱의 양을 암페어ampere라고 한다.

$$ 1 [A] = 1 [C/s] $$

설명

Ampere는 프랑스사람으로 실제 발음은 [앙페르]에 가깝다. 그래서 앙페르 법칙도 앙페르 법칙이지만 위에서 처럼 단위로 쓸 때는 암페어라고 해야한다.

선 전류 밀도

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위의 그림은 선전하밀도가 $\lambda$인 전하가 도선을 따라 속도 $\mathbf{v}$로 움직이는 상황이다. 거리=속력x시간이므로 단위길이는 $v\Delta t$이다. 단위길이 속에 든 전하량은 단위길이와 선전하밀도를 곱하여 구한다.

$$ \Delta q=\lambda v \Delta t $$

전류는 단위시간동안 지나가는 전하량이므로 $\Delta t$동안 점 $P$를 지나가는 전하량은

$$ I=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=\dfrac{\lambda v \Delta t}{\Delta t}=\lambda v $$

전류는 벡터이므로 방향까지 포함하여 표기하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{I}=\lambda \mathbf{v} $$

전류가 도선을 따라 흐를 때는 그 방향이 명확하기 때문에(도선과 평행한 방향이다) 따로 언급하지 않아도 무관하다. 하지만 표면 위에서나 부피 속에서 흐르는 전류를 다룰 때에는 그 방향을 확실하게 얘기해야 한다. 전류가 흐르는 도선이 외부 자기장 $\mathbf{B}$에 의해 받는 자기력

$$ \mathbf{F}_{\text{mag}}=\int (\mathbf{v} \times \mathbf{B} ) dq=\int (\mathbf{v} \times \mathbf{B} ) \lambda dl=\int (\mathbf{I} \times \mathbf{B}) dl $$

여기서 $\mathbf{I}$와 $d\mathbf{l}$의 방향이 같으므로

$$ \mathbf{F}_{\text{mag}} = \int I (d\mathbf{l} \times \mathbf{B}) $$

대게 도선의 흐르는 전류는 그 크기가 일정하므로 적분 밖으로 빼주면

$$ \mathbf{F}_{\text{mag}}=I \int (d\mathbf{l} \times \mathbf{B}) $$

표면 전류 밀도

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표면에 흐르는 전류는 표면 전류 밀도surface current density $\mathbf{K}$로 설명한다. 단위 길이의 폭을 지나가는 전류를 표면전류밀도라하고 수식으로는 다음과 같이 나타낸다.

$$ \mathbf{K}=\dfrac{d \mathbf{l}} {dl_\perp} $$

이 개념을 더 쉽게 이해할만한 설명을 하자면 $\mathbf{I}=\dfrac{d\mathbf{q} }{dt}$이므로

$$ \dfrac{d \mathbf{I} }{dl_{\perp}}=\dfrac{d^2 \mathbf{q}}{dl_{\perp} dt} $$

따라서 표면전류밀도는 단위 시간당, 단위 길이폭당 지나가는 전하량이다. 표면전하밀도가 $\sigma$, 전하의 속도가 $\mathbf{v}$일 때 표면전류밀도는

$$ \mathbf{K}=\sigma \mathbf{v} $$

표면 전류가 외부 자기장에 의해 받는 자기력은

$$ \mathbf{F}_{\text{mag}}=\int(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\sigma da=\int (\mathbf{K} \times \mathbf{B})da $$

위에서 봤던 전류일 때의 공식에서 전류 $\mathbf{I}$ 대신 표면 전류 밀도 $\mathbf{K}$를 넣은 꼴이다.

부피 전류 밀도

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마찬가지로 전류가 어떤 공간에서 흐를 때는 부피 전류 밀도volume current density $\mathbf{J}$로 설명한다. 단위 면적당 흐르는 전류를 부피전류밀도라하고 수식으로는 다음과 같이 나타낸다.

$$ \mathbf{J}=\dfrac {d\mathbf{I}} {da_{\perp}} $$

따라서 반대로 면 $\mathcal{S}$를 지나는 전류 $I$는 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ I = \int_{\mathcal{S}}J da_{\perp} = \int_{\mathcal{S}}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} $$

그러면 발산정리에 의해서, 부피 $\mathcal{V}$를 빠져나간 총 전하량은 다음과 같다.

$$ \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} = \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{J}) d \tau $$

마찬가지로 $\dfrac {d\mathbf{I}} {da_{\perp}}=\dfrac{d^2 \mathbf{q} } {da_{\perp}{dt}}$이므로 부피전류밀도는 단위 시간당, 단위 면적당 지나가는 전하량이다. 부피전하밀도가 $\rho$이고 전하의 속도가 $\mathbf{v}$라면 부피전류밀도는

$$ \mathbf{J}=\rho \mathbf{v} $$

부피 전류가 받는 자기력은

$$ \mathbf{F}_{\text{mag}}=\int (\mathbf{v} \times \mathbf{B} )\rho d\tau = \int (\mathbf{J} \times \mathbf{B} ) d\tau $$


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition, 2014), p234-241 ↩︎

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