3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 컬(회전)
curl of vector function in cartesian coordinate system
정의
3차원 벡터 $\mathbf{F}(x,y,z)=(F_{x},F_{y},F_{z})=F_{x}\hat{\mathbf{x}} + F_{y}\hat{\mathbf{y}} + F_{z}\hat{\mathbf{z}}$에 대해서 다음과 같은 벡터를 $\mathbf{F}$의 컬curl이라 정의하고 $\nabla \times \mathbf{F}$라고 표기한다.
$$ \begin{align} \nabla \times \mathbf{F} &= \left( \dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial y }-\dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial z} \right)\hat{\mathbf{x}}+ \left( \dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial z }-\dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial x} \right)\hat{\mathbf{y}}+ \left( \dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial x }-\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial y} \right)\hat{\mathbf{z}} \label{def1} \\ &=\begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \dfrac{ \partial }{ \partial x} & \dfrac{ \partial }{ \partial y } & \dfrac{ \partial }{ \partial z} \\ F_{x} & F_{y} &F_{z}\end{vmatrix} \label{def2} \end{align} $$
$\nabla \times \mathbf{F}$를 축(엄지)으로 두고 오른손 법칙을 적용하면 오른손이 감싸는 방향과 $\mathbf{F}$가 회전하는 방향이 같다. $\eqref{def2}$는 $\mathbf{F}$의 컬을 쉽게 계산하는 공식이다.
설명
curl은 회전으로 번역된다. 그런데 회전이라는 말은 너무 일상적이기도 하고, curl이 아니라 rotation으로 오해할 여지가 있으므로 생새우초밥집에서는 회전 대신 컬을 사용한다.
주의할 점
$\nabla \times \mathbf{F}$는 절대로 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 외적이 아니다. 그저 $\nabla \times \mathbf{F}$는 $\mathbf{F}$에 대한 어떤 정보를 담고 있는 벡터이다. $\nabla$를 $\nabla = \dfrac{ \partial }{ \partial x}\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{ \partial }{ \partial y}\hat{\mathbf{y}} + \dfrac{ \partial }{ \partial z}\hat{\mathbf{z}}$과 같은 벡터라고 생각하면 $\eqref{def1}$과 계산이 찰떡같이 맞아떨어지는 것처럼 보이므로 편의를 위해 $\nabla \times \mathbf{F}$와 같이 표기하는 것일 뿐이다. 만약 $\nabla$가 실제로 벡터라고 가정하면 이상한 결과를 얻는다.
두 벡터 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$에 대해서 다음의 식이 성립한다.
위 공식에 따라서 $\nabla$를 벡터라고 취급하면 다음의 결과를 얻는다.
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})=(\mathbf{F} \cdot \nabla)\nabla - (\nabla \cdot \nabla)\mathbf{F} + \nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}) - \mathbf{F} (\nabla \cdot \nabla) $$
하지만 계산을 해보면 실제로 맞는 식은 다음과 같다.
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{F})-\nabla ^{2} \mathbf{F} $$
따라서 $\nabla \times \mathbf{F}$를 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 외적으로 이해하면 안되고, $\nabla \times$ 자체를 하나의 함수처럼 생각하여 다음과 같이 이해하는 것이 옳다.
$$ \nabla \times (\mathbf{F}) = \left( \dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial y }-\dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial z} \right)\hat{\mathbf{x}}+ \left( \dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial z }-\dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial x} \right)\hat{\mathbf{y}}+ \left( \dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial x }-\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial y} \right)\hat{\mathbf{z}} $$
정의 유도
이제 회전의 이해를 위해 3차원 벡터 $\mathbf{F}$를 어떤 힘이라고 생각해보자. $\nabla \times$의 이름이 회전인 이유는 $\nabla \times \mathbf{F}$의 값에 따라서 $\mathbf{F}$가 물체를 회전시키는 힘인지 아닌지 알 수 있기 때문이다. 오른손 법칙에서 엄지를 $z$축이라고 하자. 그러면 $\mathbf{F}$가 물체를 회전시키는 방향에 따라서 아래 그림과 같이 $\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)_{z}$의 부호가 결정된다. 이를 다르게 말하면 $\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)_{z}$의 부호를 알면 $\mathbf{F}$가 $xy$-평면에 대해서 물체를 어떤 방향으로 회전시키는지 알 수 있다는 말이다.
이제 $xy$-평면에 대해서만 보자. 힘 $\mathbf{F}$가 $xy$평면에서 물체를 반시계 방향으로 회전시키려면 아래 그림과 같은 경향이 있어야한다.
여기서 중요한 점은 위 그림과 같은 ‘경향’이 있어야 한다는 말이다. 그림에서 파란색 화살표를 생각해보자. $x$가 커질수록 입자가 위로 가야한다고 하지만 분명히 저 부분에서는 그렇지 않다. 그래서 ‘경향’이라고 표현한 것이다. 저 부분에서도 어쨌든 $\dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial x}>0$를 만족하기 때문에 전체적으로 봤을 때 힘 $\mathbf{F}$는 물체를 반시계 방향으로 회전시키게 된다. $\dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial x }>0$이고 $\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial y}<0$이므로 $\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)_{z}=\dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial x }-\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial y }>0$이다. 반대로 회전하는 경우를 그림으로 나타내면 아래와 같다.
따라서 $\nabla \times \mathbf{F}$의 $\hat{\mathbf{z}}$성분의 부호에 따라서 힘이 물체를 $xy$평면에 대해서 어느 방향으로 회전시키는지 판별할 수 있게 된다.
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