분리벡터의 회전 📂수리물리

분리벡터의 회전

curl of separation vector 1r^2

공식

$\nabla \times \dfrac{\hat{\boldsymbol{\eta}} }{\eta ^2} =0$

설명

이 식이 특별한 의미를 가지는 것은 아니다. 자기장의 발산을 구하는 과정에서 나오는데 계산이 간단하지 않아 따로 설명한다.

증명

$\boldsymbol{\eta}=(x-x')\hat{\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z')\hat{\mathbf{z}}$를 분리벡터라고 하면 다음과 같다.

$$ | \boldsymbol{\eta} |=\eta=\sqrt{(x-x')^2+(y-y^{\prime})^2 + (z-z')^2} $$

$$ \hat{ \boldsymbol{\eta}}=\dfrac{ \boldsymbol{\eta} } { \eta}=\dfrac{(x-x')\hat{\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z')\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y^{\prime})^2 + (z-z')^2}} $$

$$ \dfrac{\hat{\boldsymbol{\eta}}}{\eta^2}=\dfrac{1}{(x-x')^2+(y-y^{\prime})^2 + (z-z')^2}\dfrac{(x-x')\hat{\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z')\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y^{\prime})^2 + (z-z')^2}} $$

계산의 편의를 위해

$$ \dfrac{\hat{\boldsymbol{\eta}} }{\eta ^2} = H_{x} \hat{\mathbf{x}} + H_{y} \hat{\mathbf{y}} + H_{z}\hat{\mathbf{z}} $$

라고 하자. 그러면

$$ \begin{align*} \nabla \times \dfrac{ \hat{\boldsymbol{\eta}}}{\eta^2} &= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\ H_{x} & H_{y} & H_{z} \end{vmatrix} \\ &= \left( \dfrac{ \partial}{\partial y} H_{z} -\dfrac{\partial }{\partial z}H_{y} \right) \hat{\mathbf{x}} + \left( \dfrac{ \partial}{\partial z} H_{x} -\dfrac{\partial }{\partial x}H_{z} \right) \hat{\mathbf{y}} +\left( \dfrac{ \partial}{\partial x} H_{y} -\dfrac{\partial }{\partial y}H_{x} \right) \hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$

$\hat{\mathbf{x}}$항만 먼저 계산해보자.

$$ \begin{align*} & \dfrac{\partial }{\partial y} H_{z} - \dfrac{\partial}{\partial z}H_{y} \\ =&\ \dfrac{\partial }{\partial y} \left[ \left[ (x-x')^2+(y-y^{\prime})^2+(z-z')^2 \right]^{-\frac{3}{2}}(z-z') \right] \\ &- \dfrac{\partial }{\partial z} \left[ \left[ (x-x')^2+(y-y^{\prime})^2+(z-z')^2 \right]^{-\frac{3}{2}}(y-y^{\prime}) \right] \\ =&\ -\dfrac{3}{2}\left[ \left[ (x-x')^2+(y-y^{\prime})^2+(z-z')^2 \right]^{-\frac{5}{2}}(z-z') \right]\cdot 2(y-y^{\prime}) \\ & +\dfrac{3}{2}\left[ \left[ (x-x')^2+(y-y^{\prime})^2+(z-z')^2 \right]^{-\frac{5}{2}}(y-y^{\prime}) \right]\cdot 2(z-z') \\ =&\ -3 \left[ (x-x')^2+(y-y^{\prime})^2+(z-z')^2 \right]^{-\frac{5}{2}}(z-z')(y-y^{\prime}) \\ & +3 \left[ (x-x')^2+(y-y^{\prime})^2+(z-z')^2 \right]^{-\frac{5}{2}}(y-y^{\prime})(z-z') \\ =&\ 0 \end{align*} $$

같은 방식으로 계산하면 $\hat{\mathbf{y}}$항과 $\hat{\mathbf{z}}$항 역시 $0$이 된다.

$$ \therefore \nabla \times \dfrac{ \hat{\boldsymbol{\eta}}}{\eta^2} = \mathbf{0} $$

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