복소해석학에서의 교차비

복소해석학에서의 교차비

정의 1

확장복소평면상에서 네 개의 서로 다른 점 $ z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} \in \overline{ \mathbb{C} }$ 에 대해 다음을 교차비Cross Ratio라고 정의한다. $$ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} ) = {{( z_{1} - z_{4})( z_{3} - z_{2})} \over {(z_{1} - z_{2}) ( z_{3} - z_{4}) } } $$

설명

조금 모양을 바꿔서 $\displaystyle (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z ) = {{( z_{3} - z_{2}) } \over {(z_{1} - z_{2})} } \cdot {{ ( z - z_{1}) } \over { ( z - z_{3}) } }$ 라고 해보면 $$ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{1} ) = 0 \\ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{2} ) = 1 \\ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{3} ) = \infty $$ 이 성립하고, 적어도 세 점이 등장한다는 점에서 원 혹은 직선을 다루는데 쓰임새가 있음을 어렵지 않게 짐작할 수 있다.

이에 핵심이 되는 것은 다음의 성질이다.

정리

교차비는 쌍선형변환에 대해 불변이다.

증명

쌍선형변환 $f$ 를 $w_{k} = f ( z_{k} )$ 로, 교차비를 $g(z) = (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z )$ 로 두면 $$ g ( f^{-1} (w_{1}) ) = g (z_{1}) = 0 \\ g ( f^{-1} (w_{2}) ) = g (z_{2}) = 1 \\ g ( f^{-1} (w_{3}) ) = g (z_{3}) = \infty $$ 즉 $g \circ f^{-1}$ 는 $w_{1} , w_{2} , w_{3} , w_{4} \in \overline{ \mathbb{C} }$ 에 대한 교차비가 된다. 따라서 $$ ( z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} ) = g(z_{4}) = g ( f^{-1} (w_{4} ) ) = ( w_{1} , w_{2} , w_{3} , w_{4} ) $$


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p204. ↩︎

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