칵스-잉거솔-로스 모델, CIR Model

칵스-잉거솔-로스 모델, CIR Model

Cox-Ingersol-Ross Model

모델 1

$$ d X_{t} = \left( \alpha - \beta X_{t} \right) dt + \sigma \sqrt{X_{t}} d W_{t} \qquad , X_{0} > 0 $$ $\alpha, \beta, \sigma > 0$ 가 $2 \alpha > \sigma^{2}$ 을 만족시킨다고 하자. 위 확률미분방정식CIR 모델이라고 한다. $$ X_{t} = {{ \alpha } \over { \beta }} + e^{-\beta t} \left( X_{0} - {{ \alpha } \over { \beta }} \right) + \sigma e^{-\beta t} \int_{0}^{t} e^{\beta u} \sqrt{X_{u}} d W_{u} $$

변수

  • $X_{t}$: 이자율Interesting Rate 혹은 유전자 빈도Gene frequency를 나타낸다.

파라메터

  • $\alpha / \beta$: 복귀 평균으로, $X_{t}$ 는 장기적으로 보았을 때 이 값으로 돌아가려고 한다.
  • $\alpha > 0$: 조정 속도Speed of Adjustment으로, 값이 클수록 빠른 속도로 평균으로 복귀한다.
  • $\sigma > 0$: 변동성Volatility을 나타낸다.

설명

CIR 모델은 인구 성장을 설명하는 방정식으로써 1951년 펠러Feller에 의해 처음 소개되었고, 1985년 칵스Cox, 잉거솔Ingersol, 로스Ross에 의해 짧은 기간동안 이자율의 움직임을 설명하는 모델로 널리 알려지게 되었다. 담백하게는 확률 평균 복귀 제곱근 성장 방정식Stochastic Mean-reverting Square-root Growth Equation이라고도 부를 수 있는데, 지금은 보통 CIR (성장) 모델이라 부른다.

풀이 자체도 온스테인-울렌벡 프로세스의 유도와 비슷하고, 장기적으로 보았을 땐 평균으로 복귀한다는 성질 또한 가지고 있다. 단기간으로는 조정 속도 $\alpha$ 가 이를 좌우하지만, 장기적으로 볼 때는 $\alpha / \beta$ 방향으로 복귀함을 장담할 수 있다. 확산 계수 $\sigma \sqrt{X_{t}}$ 는 지수 그 자체인 $X_{t}$ 가 아닌 $\sqrt{X_{t}}$ 에 비례하는 변동성을 묘사한다. 이 값은 $0$ 에서 싱귤러Singular하기 때문에 초기값이 $X_{0} > 0$ 이라면 모든 $t$ 에서 $X_{t}$ 는 음수가 될 일이 없다.

이러한 특징들은 이자율이 음수가 될 일이 없으며 장기적으로는 평균 근방에서 보이는 변동들을 묘사한다. 물론 실제 경제현상에선 마이너스 금리 등이 있을 수 있지만, 명목적인 수치만을 생각해보면 충분히 합리적인 가정이라 할 수 있겠다.


  1. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p182. ↩︎

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