쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지

쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지

1


🚧 이 포스트는 아직 이관 작업이 완료되지 않았습니다 🚧

**** 게이지 변환 **** 1. 쿨롱 게이지 **$(\mathrm{Coulomb\ gauge})$ 정자기학에서와 같이 벡터 전위의 발산Divergence을 $0$으로 한다. $$ \nabla \cdot \mathbf{A}=0 $$ 이렇게 하면 전하밀도에 관한 식을 스칼라전위에 대해서만 나타낼 수 있다. 즉, 푸아송 방정식$(\mathrm{Poisson\ equation})$이 된다. $$ \nabla ^2 V = -\frac{1}{\epsilon_0}\rho $$ 장점은 스칼라 전위$V$를 계산하기 쉽다는 것이고, 단점은 벡터 전위$\mathbf{A}$를 계산하기 어렵다는 것이다. 벡터 전위$\mathbf{A}$는 아래의 식으로 구할 수 있다. $$ \nabla ^2 \mathbf{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \nabla \left( \frac{\partial V}{\partial t} \right) $$

  1. 로렌츠 게이지$(\mathrm{ Lorenz\ gauge})$와 달랑베르시안$(\mathrm{d’Alembertian}$, 달랑베르 연산자$)$ 벡터 전위 $\mathbf{A}$의 발산을 아래와 같이 둔다. $$ \nabla \cdot \mathbf{A} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} $$ 그러면 스칼라 전위$V$와 벡터 전위$\mathbf{A}$가 분리되어 같은 모양의 수식으로 나타난다. $$ \displaystyle \nabla ^2 \mathbf{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf{J} $$

$$ \displaystyle \nabla ^2 V - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 V}{\partial t^2} = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho $$ 이 때 달랑베르시안을 사용하면 더 간단한 형태로 나타낼 수 있다. 달랑베르시안은 아래와 같이 정의한다. $$ \Box ^2 := \nabla ^2 - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2}{\partial t^2}
$$ 달랑베르시안을 사용하면 $$ \Box ^2 V = -\frac{1}{\epsilon_0}\rho $$

$$ \Box ^2 \mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J} $$

댓글