쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지

쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지

coulomb gauge and lorenz gauge

개요1

전위와 전하밀도, 전류밀도 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$ \begin{align*} \nabla ^2 V +\dfrac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{A}) &= -\frac{1}{\epsilon_0}\rho \\ \left( \nabla ^2 \mathbf{A}-\mu_0\epsilon_0 \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \right) -\nabla\left( \nabla \cdot \mathbf{A} +\mu_0\epsilon_0 \dfrac{\partial V}{\partial t}\right) &= -\mu_0 \mathbf{J} \end{align*} $$

이때 전위에 대한 가정을 어떻게 두느냐에 따라서 식이 달라진다.

쿨롱 게이지Columb gauge

정자기학에서와 같이 벡터 전위의 다이벌전스를 $0$으로 한다.

$$ \nabla \cdot \mathbf{A}=0 $$

이렇게 하면 전하밀도에 관한 식을 스칼라전위에 대해서만 나타낼 수 있다. 즉, 푸아송 방정식이 된다.

$$ \nabla^{2} V = -\frac{1}{\epsilon_0}\rho $$

장점은 스칼라 전위$V$를 계산하기 쉽다는 것이고, 단점은 벡터 전위$\mathbf{A}$를 계산하기 어렵다는 것이다. 벡터 전위$\mathbf{A}$는 아래의 식으로 구할 수 있다.

$$ \nabla^{2} \mathbf{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} = -\mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \nabla \left( \frac{\partial V}{\partial t} \right) $$

로렌츠 게이지Lorenz gauge

벡터 전위 $\mathbf{A}$의 발산을 아래와 같이 둔다.

$$ \nabla \cdot \mathbf{A} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} $$

그러면 스칼라 전위$V$와 벡터 전위$\mathbf{A}$가 분리되어 같은 모양의 수식으로 나타난다.

$$ \nabla^{2} V - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}} = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho $$

$$ \nabla^{2} \mathbf{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} = -\mu_0 \mathbf{J} $$

이 때 달랑베르시안d’Alembertian, 달랑베르 연산자을 사용하면 더 간단한 형태로 나타낼 수 있다. 달랑베르시안은 아래와 같이 정의된다.

$$ \Box^{2} := \nabla^{2} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} $$

달랑베르시안을 사용하면

$$ \Box^{2} V = -\frac{1}{\epsilon_0}\rho $$

$$ \Box^{2} \mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J} $$

같이보기


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p476-478 ↩︎

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