코탄젠트 공간과 1차 미분 형식

코탄젠트 공간과 1차 미분 형식

Cotangent Space and differential form of degree 1

개요

코탄젠트 공간과 미분 1형식을 정의한다. 미분다양체가 어렵다면 $M = \mathbb{R}^{n}$이라고 생각해도 좋다.

아인슈타인 노테이션을 사용한다.

코탄젠트 공간1

$M$을 $n$차원 미분다양체라고 하자. 그러면 점 $p \in M$에서의 탄젠트 공간 $T_{p}M$은 $n$차원 벡터공간(함수공간)이 되며, 기저는 $\left\{ \mathbf{e}_{i} = \left. \frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} \right\}_{i}$이다.

이때 탄젠트 공간 $T_{p} M$의 듀얼 스페이스 $T_{p}^{\ast}M$을 코탄젠트 공간cotangent space라고 한다.

$$ T_{p}^{\ast}M := \left\{ \psi : T_{p}M \to \mathbb{R}\ |\ \psi \text{ is continuous and linear} \right\} $$

설명

듀얼 스페이스의 성질에 의해, $\dim T_{p}M = n = \dim T_{p}^{\ast}M$이고 쌍대 기저dual basis $\left\{ (dx_{j})_{p} \right\}$는 다음과 같이 정의되는 함수이다.

$$ (dx_{j})_{p} : T_{p}M \to \mathbb{R} $$

$$ (dx_{j})_{p} \left(\textstyle \left. \frac{\partial }{\partial x_{k}}\right|_{p} \right) = \delta_{jk} = \begin{cases} 1, & j=k \\ 0, & j\ne k \end{cases} $$

임의의 $\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}M$는 기저 $\left\{ (dx_{j})_{p} \right\}$에 대해서 다음과 같이 표현된다.

$$ \begin{align*} \omega_{p} =&\ (a_{p}^{1}, a_{p}^{2}, a_{p}^{3}),\quad a_{p}^{i} \in \mathbb{R} \\[1em] =&\ a_{p}^{1}(dx_{1})_{p} + a_{p}^{2}(dx_{1})_{p} + a_{p}^{3}(dx_{3})_{p} \end{align*} $$

그러면 이제 각각의 점 $p \in M$를 $\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}M$로 매핑하는 함수 $\omega$를 생각해보자.

미분 1차 형식

미분다양체 $M$ 위의 각 점 $p\in M$를 코탄젠트 공간의 원소 $\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}M$로 매핑하는 $\omega$를 1-형식1-form이라고 한다.

$$ \begin{align*} \omega : M &\to T^{\ast}M \\ p &\mapsto \omega_{p} \end{align*} $$

이때 $T^{\ast}M = \bigcup \limits_{p \in M} T_{p}^{\ast}M$는 코탄젠트 [번들]이라 한다.

설명

1-형식은 1차 형식이라고도 하며, 영어로는 exterior form of degree 1, field of linear form 등으로 불린다.

$a_{i}$를 $a_{i} : M \to \mathbb{R}$이고 $a_{i}(p) = a_{p}^{i}$인 함수라고 하면, $\omega_{p}$를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \begin{align*} \omega_{p} = \omega (p) =&\ (a_{1}(p), a_{2}(p), a_{3}(p)) \\ =&\ a_{1}(p)(dx_{1})_{p} + a_{2}(p)(dx_{1})_{p} + a_{3}(p)(dx_{3})_{p} \end{align*} $$

그러면 $\omega$는 다음과 같다. 아인슈타인 표기법을 쓰면,

$$ \omega = a_{1}dx_{1} + a_{2}dx_{2} + a_{3}dx_{3} = a_{i}dx_{i} $$

이때 각각의 $a_{i}$들이 미분가능한 함수이면, $\omega$를 1차 미분 형식differential form of degree 1이라 한다.

$\mathbb{R}^{n}$에서의 $1$-형식

이렇게 추상적인 얘기로는 이것의 의미를 알기 어려울 것이다. 미분 형식은 미분적분학에서 $dx$와 $dy$를 마음대로 가지고 논 것에 대한 이론적인 뒷받침을 제공한다. 유클리드 공간에서의 예시를 살펴보자. 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$를 생각해보자. 그러면 $f$의 미분은 $df_{p} : T_{p}\mathbb{R}^{n} \to T_{f(p)}\mathbb{R}$이다. $v \in T_{p}\mathbb{R}^{n}$이라고 하면,

$$ v = \sum\limits_{i} v_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = v_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = (v_{1}, \dots, v_{n}) $$

$\mathbb{R}$의 좌표를 $y$라고하면 $T_{f(p)}\mathbb{R}$의 기저는 $\left\{ \dfrac{\partial }{\partial y} \right\}$이고, 미분에 $v$를 대입하면,

$$ \begin{align*} df_{p} (v) &= \begin{bmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f}{\partial x_{n}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\end{bmatrix} \\ &= \left( v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial y} \end{align*} $$

이제 $\mathbb{R}^{n}$에서의 $1$-형식 $\omega_{p} = \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}$을 보자. $v$를 대입하면,

$$ \begin{align*} w_{p} (v) &= \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i} (v) \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i} \left( v_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} v_{j}\delta_{ij} \\ &= v_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \end{align*} $$

그러면 이 경우엔 어차피 $\mathbb{R}$의 차원이 $1$이므로 다음이 성립한다.

$$ df_{p}(v) = \begin{bmatrix} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\end{bmatrix} = v_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} = \omega_{p}(v) $$

따라서 $\mathbb{R}^{n}$ 위의 $1$-형식 $\omega_{p}$와 $\mathbb{R}^{n}$ 위에서 정의된 함수의 미분 $df_{p}$가 같다는 것을 알 수 있다. 이는 미분적분학에서 스칼라 함수의 완전 미분 $df$를 다음과 같이 나타낸 것의 본질이다.

$$ df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy + \dfrac{\partial f}{\partial z}dz $$

예제

$f(x,y) = x^{2} + y^{2}$이면,

$$ df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy = 2xdx + dydy $$

$f(x,y) = e^{xy} + 3x$이면,

$$ df = (ye^{xy} + 3)dx + xe^{xy}dy $$

같이보기


  1. Manfredo P. Do Carmo, Differential Forms and Applications, p1-2 ↩︎

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