물리학에서 좌표계와 좌표
Coordinates System Coordinate in Physics
정의
각각의 $n$-순서쌍 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$들이 $n$차원 공간의 한 점을 유일하게 결정할 때, 이 $n$-순서쌍들의 집합을 ($n$차원)좌표계coordinate system, 좌표계의 원소 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$을 그 점의 좌표coordinate라 한다.
설명
물리학에서는 보통 $n \le 4$이다.
위의 정의는 고등학교에서부터 자연스레 써왔던 개념을 다시 정리한 것에 불과하다. 중요한 점은 좌표가 유일한 한 점을 결정해야한다는 것이다. 좌표 $(a_{1}, \dots, a_{n})$이 주어지면 이것이 의미하는 공간상의 점은 단 하나여야 한다. 하지만 반대로 공간상의 한 점이 주어지면 그것을 표현하는 좌표 $(a_{1}, \dots, a_{n})$은 유일하지 않을 수 있다. 특히 각도를 쓰는 좌표계들은 삼각함수 때문에 축 위의 점이나 원점 등에서 좌표 표현이 여러개 존재할 수 있다.
좌표계
- $\mathbb{R}$는 실수 집합을 의미한다.
- $\mathbb{R}^{n} = \overbrace{\mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}}^{n}$는 $n$차원 공간을 의미한다.
데카르트 좌표계
일상 생활과 가장 밀접하고, 직관적인 좌표계이다. 흔히 데카르트 좌표계의 좌표는 흔히 다음과 같이 표현한다. $$ (x, y, z) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^{3} $$ 그래서 데카르트 좌표계라는 말 대신 $(x, y, z)$-좌표계라고 표현하기도 한다. 이는 아래의 다른 좌표계에서도 적용되는 관습이다.
극 좌표계
2차원에서 반지름 대칭인 운동을 기술하는데 용이한 좌표계이다. 원점으로부터의 거리 $r$과 $x$-축으로부터의 각도 $\theta$로 2차원 공간의 한 점을 결정한다. $$ (r,\theta) \in [0, \infty) \times [0, 2\pi) $$ 원점의 좌표는 유일하지 않다. 서로 다른 $\theta_{1}, \theta_{2}$에 대해서 다음이 성립한다. $$ (0, \theta_{1}) = (0, \theta_{1}) $$
원통 좌표계
3차원 공간의 한 점을 $xy$-평면으로 사영했을 때의 길이 $\rho$(혹은 $s$)와 $x$-축으로부터의 각도 $\phi$, 그리고 $z$-좌표로 표현한다. $$ (\rho, \phi, z) \in [0, \infty) \times [0, 2\pi) \times \mathbb{R} $$ 원점과 $z$-축 위의 점의 좌표는 유일하지 않다.
구 좌표계
3차원 공간에서 반지름 대칭인 운동을 기술하는데 용이하다. 극 좌표계의 3차원으로의 확장이다. 원점으로부터의 거리 $r$, 천정각 $\theta$, 방위각 $\phi$로 3차원 공간의 한 점을 결정한다. $$ (r, \theta, \phi) \in [0, \infty) \times [0, \pi] \times [0, 2\pi) $$ 원점과 $z$-축 위의 점의 좌표는 유일하지 않다.
$\theta$와 $\phi$의 표기를 서로 바꾸어 사용하기도 하는데, 내 생각엔 그러한 표기는 적절하지 않다. 의미를 생각해봐도 그렇고, ISO에서 제정한 국제 표준도 $(r, \theta, \phi)$이다. 게다가 위키에 따르면 미국의 수학 교재에서 $(r, \phi, \theta)$와 같은 표기를 쓴다는데, 야드파운드법을 포함한 미국단위계의 불합리함을 생각해보자.