직교기저들에 상대적인 좌표

직교기저들에 상대적인 좌표

정의1

내적공간 $V$의 기저 $S$가 직교집합이면 $S$를 직교기저orthogonal basis라 한다. $S$가 정규직교집합이면 정규직교기저orthonormal basis라 한다.

정리

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$가 내적공간 $V$의 직교기저이고, $\mathbf{u} \in V$라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u} &= \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle}{\| \mathbf{v}_{1} \|^{2}} \mathbf{v}_{1} + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle}{\| \mathbf{v}_{2} \|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle}{\| \mathbf{v}_{n} \|^{2}} \mathbf{v}_{n} \\ &= \sum \limits _{i=1}^{n} \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle}{\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}} \mathbf{v}_{i} \end{aligned} \label{thm1} \end{equation} $$

$S$가 정규직교기저이면 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u} &= \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle\mathbf{v}_{1} + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle\mathbf{v}_{2} + \cdots + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle\mathbf{v}_{n} \\ &= \sum \limits _{i=1}^{n} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle \mathbf{v}_{i} \end{aligned} \label{thm2} \end{equation} $$

설명

위의 정리로부터 다음의 벡터를 $\mathbf{u} \in V$의 기저 $S$에 대한 좌표라 한다.

$$ (\mathbf{u})_{S} = \left( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle, \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle, \dots, \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle \right) $$

증명

$S$가 $V$의 기저이므로 $\mathbf{u} \in V$는 다음과 같은 유일한 선형결합 표현이 존재한다.

$$ \begin{equation} \mathbf{u} = c_{1} \mathbf{v}_{1} + c_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n} \mathbf{v}_{n} \label{eq1} \end{equation} $$

$\mathbf{u}$와 각각의 $\mathbf{v}_{i}$의 내적을 구해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle &= \langle c_{1} \mathbf{v}_{1} + c_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n} \mathbf{v}_{n} , \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= c_{1} \langle \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{i} \rangle + c_{2} \langle \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{i} \rangle + \cdots c_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle +\cdots + c_{n} \langle \mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= c_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= c_{i} \| \mathbf{v}_{i} \|^{2} \end{align*} $$

$$ \\ \implies c_{i} = \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle }{\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}} $$

위 식을 만족하는 $c_{i}$들은 유일하므로, 이를 $\eqref{eq1}$에 대입하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{u} &= \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle}{\| \mathbf{v}_{1} \|^{2}} \mathbf{v}_{1} + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle}{\| \mathbf{v}_{2} \|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle}{\| \mathbf{v}_{n} \|^{2}} \mathbf{v}_{n} \\ &= \sum \limits _{i=1}^{n} \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle}{\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}} \mathbf{v}_{i} \end{align*} $$

$S$가 정규직교집합이면 $\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}=1$이므로 $\eqref{thm2}$가 성립한다.


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p364 ↩︎

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