다변수 함수의 컨볼루션

다변수 함수의 컨볼루션

convolution of multi variable function

정의

$f,g:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{C}$이고 $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$이라고 하자. 그러면 두 다변수 함수의 컨볼루션은 다음과 같다.

$$ f \ast g(\mathbf{x})=\int f(\mathbf{y})g(\mathbf{x}-\mathbf{y})d\mathbf{y} $$

이때 위의 적분은 다변수 함수의 적분이다.

성질

다변수 함수의 컨볼루션도 일변수 함수의 컨볼루션이 만족하는 좋은 성질들을 그대로 만족한다.

(a) 교환법칙

$$ f \ast g = g \ast f $$

(b) 분배법칙

$$ f \ast (g+h)=f \ast g + f \ast h $$

(c) 결합법칙

$$ f\ast (g\ast h)=(f \ast g)\ast h $$

(d) 스칼라곱의 결합 법칙

$$ a(f \ast g)=(af \ast g)=(f\ast ag) $$

(e) 미분

$$ \partial_{j}(f \ast g)=(\partial _{j}f) \ast g=f \ast (\partial _{j}g)\quad \text{where } \partial_{j}=\frac{ \partial }{ \partial_{j}} $$

설명

또한 컨볼루션 수렴 정리, 컨볼루션 놈 수렴 정리도 당연히 만족한다.

$g\in L^{1}$이고 $\int g(\mathbf{x})d\mathbf{x}=1$이라고 하자. 그리고 $g_{\epsilon(\mathbf{x})}=\epsilon^{-n}g(\epsilon^{-1}\mathbf{x})$라고 하자.

  • (i) $f$가 유계이거나 $g$가 어떤 닫힌 구간 밖에서는 $0$이라고 하자. 그러면 $f \ast g$는 잘 정의되고, 만약 $f$가 $\mathbf{x}$에서 연속이면 다음이 성립한다.

    $$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} f \ast g_{\epsilon}(\mathbf{x})=f(\mathbf{x}) $$

    만약 $f$가 닫혀있고 유계인 $D$ 위에서 연속이라면, 위의 수렴은 $D$ 위에서 균등 수렴이다.

  • (ii) 만약 $f\in L^{2}$이면 다음이 성립한다.

    $$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| f \ast g_{\epsilon}-f \right\| =0 $$

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