확률 밀도 함수의 컨볼루션 공식

확률 밀도 함수의 컨볼루션 공식

Convolution Formula for pdfs

공식 1

독립인 두 연속확률변수 $X, Y$ 의 확률밀도함수가 $f_{X}, f_{Y}$ 로 주어져 있다고 하자. 그러면 $Z := X + Y$ 의 확률밀도함수는 두 확률밀도함수의 합성곱 $f_{Z} = f_{X} \ast f_{Y}$ 이다. $$ f_{Z} (z) = \left( f_{X} \ast f_{Y} \right) (z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X} (w) f_{Y} (z-w) dw $$

유도

$W := X$ 라 하면 자코비안은 $$ \begin{Vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{Vmatrix} = \left| -1 \right| = 1 $$ 이고, $Z$ 와 $W$ 의 조인트 확률밀도함수 $f_{Z,W}$ 는 $$ f_{Z,W} \left( z,w \right) = f_{X,Y} \left( w, z-w \right) = f_{X} (w) f_{Y} (z-w) $$ 이다. 따라서 $Z$ 의 마지널 확률밀도함수는 $-\infty < w < \infty$ 에서의 정적분으로써 다음과 같이 구해진다. $$ f_{Z} (z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X} (w) f_{Y} (z-w) |1| dw $$


  1. Casella. (2001). statistiical Inference(2nd Edition): p215. ↩︎

댓글