컨볼루션 수렴 정리

컨볼루션 수렴 정리

convolution converge theorem

정리

함수 $g \in L^{1}$가 다음의 조건을 만족한다고 하자.

$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}g(y)dy &= 1 \\ \int_{-\infty}^{0}g(y)dy &= \alpha \\ \int_{0}^{\infty}g(y)dy &=\beta \\ \alpha+\beta &= 1 \end{align*} $$

그리고 $f$가 $\mathbb{R}$위에서 조각마다 연속이라고 하자. 그리고 $f$가 유계이거나 $g$가 임의의 구간 $[-a,a]$ 밖에서 $g=0$라고 하자. 즉, 합성곱 $f \ast g(x)$가 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해서 잘 정의된다. 이제 $\epsilon >0$에 대해서 $g_{\epsilon}(y)=\frac{1}{\epsilon}g(\frac{y}{\epsilon})$이라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.

$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0}f \ast g_{\epsilon}(x)=\alpha f(x+)+\beta f(x-) ,\quad x\in\mathbb{R} $$

이때 $f(x+)$, $f(x-)$는 각각 $f$의 $x$에서의 우극한, 좌극한이다. 특히 $f$가 $x$에서 연속이면 다음의 식이 성립한다.

$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} f \ast g_{\epsilon}(x)=f(x) $$

더욱이 $f$가 어떤 닫힌 구간에서 연속이면 위의 수렴은 균등 수렴이다.


‘컨볼루션 수렴 정리’라는 이름은 위 정리에 딱히 붙여진 이름이 없어서 임의로 붙인 것이다. 푸리에 해석, 초함수론 등에서 유용한 보조정리로 쓰인다.

증명

우리가 보여야할 식은 다음과 같다.

$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| f \ast g_{\epsilon}(x)-\alpha f(x+)-\beta f(x-) \right|=0 $$

절댓값 안쪽의 식을 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align} &f \ast g_{\epsilon}(x)-\alpha f(x+)-\beta f(x-) \nonumber \\ =&\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g_{\epsilon}(y)dy- \int_{-\infty}^{0}g(y)dyf(x+)- \int_{0}^{\infty}g(y)dyf(x-) \nonumber \\ =&\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g_{\epsilon}(y)dy- \int_{-\infty}^{0}g_{\epsilon}(y)dyf(x+)- \int_{0}^{\infty}g_{\epsilon}(y)dyf(x-) \nonumber \\ =&\ \int_{-\infty}^{0}\big[ f(x-y)-f(x+) \big]g_{\epsilon}(y)dy+\int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \label{eq1} \end{align} $$

이제 임의의 양수 $\delta >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 좌극한, 우극한의 정의에 의해

$$ \begin{equation} 0<y<c \implies \left| f(x-y)-f(x\pm) \right| <\delta \label{eq2} \end{equation} $$

를 만족하는 $c>0$가 존재한다. 이제 $\eqref{eq1}$의 두번째항에 대해서만 정리를 해보자. 적분 구간을 다음과 같이 나눌 수 있다.

$$ \begin{align} &\int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \nonumber \\ =&\ \int_{0}^{c}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy+\int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \label{eq3} \end{align} $$

$\eqref{eq3}$의 첫번째항부터 살펴보자. 조건 $\eqref{eq2}$로부터 다음의 식을 얻을 수 있다.

$$ \begin{align*} \left| \int_{0}^{c}\big[ f(x-y)-f(x-)\big]g_{\epsilon}(y)dy \right| &< \int_{0}^{c}\delta \left| g_{\epsilon}(y) \right|dy \\ &=\delta\int_{0}^{c/\epsilon} \left| g(y) \right|dy \end{align*} $$

따라서

$$ \begin{equation} \lim\limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{0}^{c}\big[ f(x-y)-f(x-)\big]g_{\epsilon}(y)dy \right|=0 \label{eq4} \end{equation} $$

이제 남은 적분 구간을 처리하는 과정은 두 가지의 경우로 나눌 수 있다.

  • Case 1. $f$가 유계인 경우

    $\eqref{eq3}$의 두번째항은 $f$가 유계라는 조건에 의에 아래와 같이 정리할 수 있다. $\left| f \right| \le M$이라고 하자. 그러면 $$ \begin{align*} \left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| & \le 2M \left|\int_{c}^{\infty} g_{\epsilon}(y)dy \right| \\ & \le 2M\int_{c/\epsilon}^{\infty}\left| g(y) \right|dy
    \end{align*} $$

    따라서

    $$ \begin{equation} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| =0 \label{eq5} \end{equation} $$

  • Case 2. $\left| x \right|>a$일 때 마다 $g(x)=0$인 경우

    그러면 $\left| x \right|>\epsilon a $일 때마다 $g_{\epsilon}(x)=0$이다. 그러면 충분히 작은 $\epsilon$에 대해서

    $$ \left| x \right|>c \implies g_{\epsilon}(x)=0 $$

    이 성립한다. 따라서

    $$ \begin{equation} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| =0 \label{eq6} \end{equation} $$


그러면 $\eqref{eq3}$, $\eqref{eq4}$, $\eqref{eq5}$, $\eqref{eq6}$으로부터 아래의 결과를 얻는다.

$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right|=0 $$

이와 같은 방식을 $\eqref{eq1}$의 첫번째 항에 적용하면 다음을 얻는다.

$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{-\infty}^{0}\big[ f(x-y)-f(x+) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right|=0 $$

그러므로

$$ \begin{align*} &\lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| f \ast g_{\epsilon}(x)-\alpha f(x+)-\beta f(x-) \right| \\ \le& \lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{-\infty}^{0}\big[ f(x-y)-f(x+) \big]g_{\epsilon}(y)dy \right| \\ &+\lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| \int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| \\ =&\0 \end{align*} $$ 가 성립하기 때문에

$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0}f \ast g_{\epsilon}(x)=\alpha f(x+)+\beta f(x-) ,\quad x\in\mathbb{R} $$

또한 $f$가 $x$에서 연속이면 $f(x+)=f(x-)$이고 $\alpha+\beta =1$이므로

$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} f \ast g_{\epsilon}(x)=f(x) $$

이때 유계인 닫힌 구간은 컴팩트이고, $f$가 어떤 컴팩트 셋에서 연속이면 균등연속이다. 그러면 위에서 $c$를 선택함에 있어서 $x$에 무관해지고, 이는 $f \ast g_{\epsilon}$이 $f$로 균등수렴함을 말한다.

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