거리공간에서 수열의 수렴

거리공간에서 수열의 수렴

정의

$\left\{ p_{n} \right\}$이 거리공간 $(X,d)$의 점들의 수열이라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 점 $p \in X$가 존재하면 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$이 $p$로 수렴한다converge고 말하고 $p_{n} \rightarrow p$ 혹은 $\lim \limits_{n\to \infty}p_{n}=p$로 나타낸다.

$$ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N}\ \mathrm{s.t}\ n\ge N \implies d(p_{n},p)<\varepsilon $$

$\left\{ p_{n} \right\}$이 수렴하지 않으면 발산한다diverge고 한다. 또한 모든 $p_{n}$들의 집합을 $\left\{ p_{n} \right\}$의 치역이라고 한다. $\left\{ p_{n} \right\}$의 치역이 유계이면 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$이 유계bounded 라고 한다.


정리

$\left\{ p_{n} \right\}$을 거리공간 $(X,d)$에서의 수열이라고 하자.

(a) $p_{n}\to p$의 필요충분조건은 모든 $p$의 근방이 유한개를 제외한 모든 $\left\{ p_{n} \right\}$의 항들을 포함하는 것이다.

(b) $ p_{n} \to p$이고 $ p_{n} \to p'$이면 $p=p'$이다.

(c) $\left\{ p_{n} \right\}$이 수렴하면 유계이다.

(d) $E\subset X$가 주어졌다고 하자. $p$가 $E$의 집적점이면 $p=\lim \limits_{n \to \infty}p_{n}$을 만족하는 $E$에서의 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$이 존재한다. 다. $\left\{ p_{n} \right\}$이 서로 다른 점들의 집합이면 역도 성립한다.

증명

(a)

(b)

임의의 양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 가정에 의해 아래의 조건을 만족시키는 두 양수 $N$, $N'$이 존재한다.

$$ \begin{align*} n\ge N & \implies d(p_{n},p) <\frac{\varepsilon}{2} \\ n\ge N' & \implies d(p_{n},p) <\frac{\varepsilon}{2} \end{align*} $$

그러면 $n \ge \max(N,N')$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$ d(p,p') \le d(p,p_{n}) + d(p_{n},p')<\varepsilon $$

$\varepsilon$는 임의의 양수이므로

$$ d(p,p')=0 $$

이고 거리의 정의에 의해 $p=p'$

(c)

$\left\{ p_{n} \right\}$이 $p$로 수렴한다고 가정하자. 가정에 의해 아래의 식이 성립하는 양수 $N$이 존재한다.

$$ n \ge N \implies d(p_{n},p)<1 $$

이제

$$ r=\max \left\{ 1,\ d(p_{1},p),\ \cdots,\ d(p_{N},p) \right\} $$

라고 하자. 그러면 모든 $n$에 대해서

$$ d(p_{n},p)\le r $$

이므로 $\left\{ p_{n} \right\}$은 유계이다.

(d)

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