거리공간에서 수열의 수렴 📂거리공간

거리공간에서 수열의 수렴

convergent sequences in metric space

정의1

$\left\{ p_{n} \right\}$이 거리공간 $(X,d)$의 점들의 수열이라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 점 $p \in X$가 존재하면 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$이 $p$로 수렴한다converge고 말하고 $p_{n} \rightarrow p$ 혹은 $\lim \limits_{n\to \infty}p_{n}=p$로 나타낸다.

$$ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N}\ \mathrm{s.t}\ n\ge N \implies d(p_{n},p)<\varepsilon $$

$\left\{ p_{n} \right\}$이 수렴하지 않으면 발산한다diverge고 한다. 또한 모든 $p_{n}$들의 집합을 $\left\{ p_{n} \right\}$의 치역range이라고 한다. $\left\{ p_{n} \right\}$의 치역이 유계이면 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$이 유계bounded 라고 한다.

정리

$\left\{ p_{n} \right\}$을 거리공간 $(X,d)$에서의 수열이라고 하자.

(a) $p_{n}\to p$의 필요충분조건은 모든 $p$의 근방이 유한개를 제외한 모든 $\left\{ p_{n} \right\}$의 항들을 포함하는 것이다.

(b) $p_{n} \to p$이고 $p_{n} \to p^{\prime}$이면 $p=p^{\prime}$이다.

(c) $\left\{ p_{n} \right\}$이 수렴하면 유계이다.

(d) $E\subset X$가 주어졌다고 하자. $p$가 $E$의 집적점이면 $p=\lim \limits_{n \to \infty}p_{n}$을 만족하는 $E$에서의 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$이 존재한다. 다. $\left\{ p_{n} \right\}$이 서로 다른 점들의 집합이면 역도 성립한다.

증명

(a)

  • $(\implies)$

    $p_{n} \to p$라고 가정하자. 그리고 임의의 양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. $V$를 반경이 $\varepsilon$인 $p$의 근방이라고 하자. 그러면 근방의 정의에 의해 다음이 성립한다.

    $$ d(p,q)<\varepsilon\quad \implies q\in V $$

    그런데 가정에 의해 주어진 $\varepsilon$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 $N$이 존재한다.

    $$ \forall n \ge N,\ d(p_{n},p) <\varepsilon $$

    따라서 유한개의 점을 제외한 모든 $p_{n}$들이 $V$에 포함된다.

  • $(\impliedby)$

    $p$의 모든 근방이 유한개의 점을 제외한 모든 $\left\{ p_{n} \right\}$을 포함한다고 가정하자. 그리고 임의의 양수 $\varepsilon>0$가 주어졌다고 하자. $V$를 반경이 $\varepsilon$인 $p$의 근방이라고 하자. 그러면 가정에 의해 아래의 조건을 만족시키는 $N$이 존재한다.

    $$ n \ge N \implies p_{n}\in V $$

    그러면 $V$는 $p$의 근방이므로 다음이 성립한다.

    $$ \forall n \ge N,\quad d(p_{n},p)<\varepsilon $$

    따라서 $p_{n}\to p$

(b)

임의의 양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 가정에 의해 아래의 조건을 만족시키는 두 양수 $N$, $N'$이 존재한다.

$$ \begin{align*} n\ge N & \implies d(p_{n},p) <\frac{\varepsilon}{2} \\ n\ge N' & \implies d(p_{n},p) <\frac{\varepsilon}{2} \end{align*} $$

그러면 $n \ge \max(N,N')$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$ d(p,p') \le d(p,p_{n}) + d(p_{n},p')<\varepsilon $$

$\varepsilon$는 임의의 양수이므로

$$ d(p,p')=0 $$

이고 거리의 정의에 의해 $p=p'$

(c)

$\left\{ p_{n} \right\}$이 $p$로 수렴한다고 가정하자. 가정에 의해 아래의 식이 성립하는 양수 $N$이 존재한다.

$$ n \ge N \implies d(p_{n},p)<1 $$

이제

$$ r=\max \left\{ 1,\ d(p_{1},p),\ \cdots,\ d(p_{N},p) \right\} $$

라고 하자. 그러면 모든 $n$에 대해서

$$ d(p_{n},p)\le r $$

이므로 $\left\{ p_{n} \right\}$은 유계이다.

(d)

  • $(\implies)$

    $E\subset X$이고 $p$가 $E$의 집적점이라고 하자. 그러면 집적점의 정의에 의해 각각의 $n$에 대해서

    $$ d(p_{n},p) < \frac{1}{n} $$

    을 만족하는 $p_{n}\in E$가 존재한다. 이제 임의의 양수 $\varepsilon >0$와 $N\varepsilon>1$을 만족하는 $N$이 주어졌다고 하자. 그러면 $ n >N$에 대해서 다음이 성립한다.

    $$ d(p_{n},p)< \frac{1}{n}<\frac{N}{n}\varepsilon<\varepsilon $$

    따라서 $\left\{ p_{n} \right\}$은 $p$로 수렴한다.

  • $(\impliedby)$

    $p=\lim \limits_{n\to\infty}p_{n}$을 만족하는 서로 다른 $E$의 점들의 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$이 존재한다고 가정하자. 그러면 모든 양수 $\varepsilon >0$에 대해서

    $$ n \ge N \implies d(p_{n},p)< \varepsilon $$

    을 만족하는 $N$이 존재한다. 이때 $V_{\varepsilon}$를 반경이 $\varepsilon$인 $p$의 근방이라고 하자. 그러면 $V_{\varepsilon}$은 $p$가 아닌 $p_{n} \in E (n\ge N)$을 포함하므로 $p$는 $E$의 집적점이다.


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p47-48, 55-58 ↩︎

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