몰리피케이션의 수렴 📂편미분방정식

몰리피케이션의 수렴

convergence of mollification at discontinuous point and continuous point

정리

몰리파이어 $\eta_{\epsilon}$에 대해서 다음이 성립한다고 하자.

  • $\displaystyle \alpha= \int_{-\infty}^{0} \eta_{\epsilon}(x) dx$
  • $\displaystyle \beta=\int_{0}^{\infty} \eta_{\epsilon} (x) dx$
  • $\alpha + \beta = 1$라고 하자.

그리고 $f$가 조각마다 연속이고 유계라고 하자. 그러면 $f$의 몰리피케이션은 아래와 같이 수렴한다.

$$ \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f * \eta_{\epsilon}(x) = \alpha f(x+) + \beta f(x-) $$

$\eta_{\epsilon}(x)$가 짝함수이면

$$ \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f * \eta_{\epsilon}(x) = \dfrac{1}{2} \big[ f(x+) + f(x-) \big] $$

또한 $f$가 연속 함수이면

$$ \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f * \eta_{\epsilon}(x) = f(x) $$

설명

$f$가 충분히 매끄럽지 않아도, $f$의 몰리피케이션은 $f$로 수렴하는 스무스 함수가 된다.

  • 보조정리

    $$ \int_a^b \eta_{\epsilon}(x)dx=\int_{a/\epsilon}^{b/\epsilon}\eta(x)dx $$

증명

따름정리로서 성립

컨볼루션 수렴 정리에 의해서 성립한다.

직접 계산

가정에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} f*\eta_{\epsilon}(x) -\alpha f(x+)-\beta f(x-) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\eta_{\epsilon}(y)dy - \int_{-\infty}^{0} f(x+)\eta_{\epsilon}(y)dy - \int_{0}^{\infty} f(x-)\eta_{\epsilon}(y)dy \\ &= \int_{-\infty}^{0} \big[ f(x-y) -f(x+) \big] \eta_{\epsilon}(y)dy - \int_{0}^{\infty} \big[ f(x-y) - f(x-)\big] \eta_{\epsilon}(y)dy \end{align*} $$

먼저 둘째항의 적분이 $0$으로 수렴함을 보이려한다. $\delta >0$가 주어졌고 $N=\int |\eta_{\epsilon}(y) | dy$라고 하자. 그러면 $0<y<c$일 때 마다 아래의 식을 만족하는 충분히 작은 $c$를 고를 수 있다.

$$ |f(x-y)-f(x-)| < \dfrac{\delta}{2N} \quad \mathrm{when}\ 0<y<c $$

그러면 적분을 $\displaystyle \int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{c} +\int_{c}^{\infty}$로 쪼개서 생각하자. 우선 $\int_{0}^{c}$에 대해서 살펴보면 위의 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left| \int_{0} ^{c} \big[ f(x-y)-f(x-) \big] \eta_{\epsilon}(y)dy \right| &\le \dfrac{\delta}{2N}\int_{0}^{c}|\eta_{\epsilon}(y)|dy \\ &= \dfrac{\delta}{2N}N \\ &=\dfrac{\delta}{2} \end{align*} $$

이제 $f$가 유계이므로 $ f(x) \le M$라 하자. $\int | \eta (y)|dy=1<\infty$이므로 다음의 식을 만족하는 양수 $R>0$이 존재한다.

$$ \int_{R'}^{\infty}|\eta (y)|dy < \dfrac{\delta}{4M} \quad \mathrm{for}\ R'>R $$

$\epsilon < c/R$라고 하자. 그러면 $R< c/\epsilon$이므로 $\int_{c/\epsilon}^{\infty} |\eta(y)|dy <\frac{\delta}{4M}$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left| \int_{c}^{\infty} \big[ f(x-y)-f(x-) \big] \eta_{\epsilon}(y)dy \right| &\le 2M \int _{c}^{\infty} | \eta_{\epsilon}(y) | dy \\ &= 2M \int _{c/\epsilon}^{\infty} | \eta(y) | dy \\ &\le 2M\dfrac{\delta}{4M} \\ &= \dfrac{\delta}{2} \end{align*} $$

두 결과를 종합하면 다음을 얻는다.

$$ \left| \int_{0}^{\infty} \big[ f(x-y)-f(x-)\big]\eta_{\epsilon}(y)dy \right|<\delta $$

$\delta$는 임의의 양수 이므로 위 식의 값은 $0$이다. $\displaystyle \int_{-\infty}^{0}$의 경우에도 같은 방식으로 증명할 수 있다. 그러므로 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f *\eta_{\epsilon}(x) -\alpha f(x+)-\beta f(x-) &= 0 \\ \implies && \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f \eta_{\epsilon}(x) &=\alpha f(x+)+\beta f(x-) \end{align} $$

몰리파이어 $\eta(x)$가 짝함수이면 명백하게 $\alpha=\beta=\frac{1}{2}$이므로 다음이 성립한다.

$$ \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f * \eta_{\epsilon}(x) = \dfrac{1}{2} \big[ f(x+) + f(x-) \big] $$

또한 $f(x)$가 연속일 때는 위와 같은 방법으로

$$ f*\eta_{\epsilon}(x)-f(x) <\delta $$

임을 보여서 최종적으로 $\lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f * \eta_{\epsilon}(x)=f(x)$임을 보일 수 있다.

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