슈바르츠 공간에서의 수렴

슈바르츠 공간에서의 수렴

convergence in schwartz space

정의

$\left\{ \phi_{n} \right\}$을 슈바르츠 공간에서의 수열이라고 하자. 만약 모든 멀티 인덱스 $\alpha$, $\beta$에 대해서 수열 $\left\{ \mathbf{x}^{\beta}D^{\alpha}\phi_{n}(\mathbf{x}) \right\}$이 $0$으로 균등 수렴하면 $\left\{ \phi_{n} \right\}$이 $0$으로 수렴한다고 정의하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \phi_{n} \overset{\mathcal{S}}{\to} 0 $$

설명

위 정의를 일반화하여 $\left\{ \phi_{n}-\phi \right\}$가 $0$으로 수렴하면 $\left\{ \phi_{n} \right\}$이 $\phi$로 수렴한다고 말할 수 있다.

$$ \forall \alpha, \beta,\quad \left( \mathbf{x}^{\beta}D^{\alpha}\phi_{n} - \phi \right) \overset{\mathcal{S}}{\to} 0 \implies \phi_{n} \overset{\mathcal{S}}{\to} \phi $$

슈바르츠 공간 $\mathcal{S}$는 초함수의 푸리에 변환을 잘 정의하기 위해 테스트 함수 공간 $\mathcal{D}$를 확장한 것이다. 따라서 $\mathcal{D}$에서의 수렴이 $\mathcal{S}$에서의 수렴을 보장해야 잘 정의된 개념이라고 할 수 있다.

정리

$\left\{ \phi_{n} \right\}$이 $\mathcal{D}$에서 수렴하는 수열이라고 하자. 그러면 $\mathcal{S}$에서 수렴한다.

$$ \phi_{n} \overset{\mathcal{D}}{\to} 0 \implies \phi_{n} \overset{\mathcal{S}}{\to} 0 $$

증명

$\left\{ \phi_{n} \right\}$이 $\mathcal{D}$에서 $0$으로 수렴하는 수열이라고 하자. 그러면 정의에 의해 모든 $\phi_{n}$에 대해서 다음을 만족하는 컴팩트 셋 $K$가 존재한다.

$$ \mathrm{supp}\phi_{n} \subset K $$

그러면 어떤 양수 $r>0$에 대해서 $K\subset \overline{B}(r)$가 성립한다. 이때 $\overline{B}(r)$은 원점이 중심이고 반경이 $r$인 닫힌 볼이다. 따라서 다음의 식이 성립한다.

$$ \left| \mathbf{x}^{\beta}D^{\alpha}\phi_{n}(\mathbf{x}) \right|\le r^{\left| \beta \right| }\sup \limits_{\left| \mathbf{x} \right|\le r }\left| D^{\alpha}\phi_{n}(\mathbf{x}) \right| ,\quad \forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n} $$

이때 가정에 의해 모든 $\alpha$에 대해서 $\left\{ D^{\alpha}\phi_{n} \right\}$이 $0$으로 균등 수렴한다. 그러면 위의 부등식에 의해 $\left\{ \mathbf{x}^{\beta}D^{\alpha}\phi_{n}(\mathbf{x}) \right\}$도 $0$으로 균등 수렴한다.

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