다변량 확률 변수의 확률 수렴

다변량 확률 변수의 확률 수렴

정의 1

$p$차원 랜덤 벡터 $\mathbf{X}$ 와 랜덤 벡터의 시퀀스 $\left\{ \mathbf{X}_{n} \right\}$ 가 다음을 만족하면 $n \to \infty$ 일 때 $\mathbf{X}_{n}$ 이 $\mathbf{X}$ 로 확률 수렴Convergence in Probability한다고 말하고, $\mathbf{X} _ {n} \overset{P}{\to} \mathbf{X}$ 와 같이 나타낸다. $$ \forall \varepsilon > 0 , \lim_{n \to \infty} P \left[ \left\| \mathbf{X}_{n} - \mathbf{X} \right\| < \varepsilon \right] = 1 $$


정리

$p$차원 랜덤 벡터를 $\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{p} \right)$ 와 같이 나타내도록 하자. 그러면 $$ \mathbf{X}_{n} \overset{P}{\to} \mathbf{X} \iff X_{nk} \overset{P}{\to} X_{k} \qquad, \forall k = 1, \cdots, p $$

증명

$(\Rightarrow)$

$\mathbf{X}_{n} \overset{P}{\to} \mathbf{X}$ 이라고 하자. 유클리드 놈의 정의에 따라 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$ \varepsilon \le \left| X_{nk} - X_{k} \right| \le \left\| \mathbf{X}_{nk} - \mathbf{X}_{k} \right\| $$ 이므로 $$ \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left| X_{nk} - X_{k} \right| \ge \varepsilon \right] \le \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left\| \mathbf{X}_{nk} - \mathbf{X}_{k} \right\| \ge \varepsilon \right] = 0 $$


$(\Leftarrow)$

$X_{nk} \overset{P}{\to} X_{k} , \forall k = 1, \cdots, p$ 이라고 하자. 유클리드 놈의 정의에 따라 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$ \varepsilon \le \left\| \mathbf{X}_{n} - \mathbf{X} \right\| \le \sum_{k=1}^{p} \left| X_{nk} - X_{k} \right| $$ 이므로 $$ \begin{align*} & \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left\| \mathbf{X}_{n} - \mathbf{X} \right\| \ge \varepsilon \right] \\ \le & \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left| X_{nk} - X_{k} \right| \ge \varepsilon \right] \\ \le & \sum_{k=1}^{p} \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left| X_{nk} - X_{k} \right| \ge \varepsilon \right] \\ =& 0 \end{align*} $$

같이보기


  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p321. ↩︎

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