놈 공간에서 수열의 수렴

놈 공간에서 수열의 수렴

정의

$(X, \left\| \cdot \right\|)$를 놈 공간이라고 하자. $X$의 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$에 대해서

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \left\| x - x_{n} \right\| = 0,\quad x\in X $$

가 성립하면, 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$이 $x$로 수렴한다converge고 하고 아래와 같이 나타낸다.

$$ x_{n} \to x \text { as } n \to \infty \quad \text{or} \quad x=\lim \limits_{n\to\infty}x_{n} $$

설명

수렴을 정의하기 위해서는 거리가 필요한데, 놈 공간에서는 $d(x,y)=\left\| x - y \right\|$와 같이 자연스럽게 거리를 정의할 수 있으므로 거리공간에서의 정의에서 거리만 놈으로 바꾼 것과 같다.


모든 $\epsilon >0$에 대해서 아래의 식을 만족하는 자연수 $N\in \mathbb{N}$이 존재하면 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$이 $x$로 수렴한다고 한다.

$$ \left\| x - x_{n} \right\|<\epsilon \quad \forall n \ge N $$


약 수렴와 비교해서 강하게 수렴한다 고 말하기도 한다.

$$ \begin{align*} & x_{n} \text{ converges to } x \\ =&\ x_{n} \text{ converges in norm to } x \\ =&\ x_{n} \text{ converges strongly to } x \end{align*} $$

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