함수열의 놈수렴

함수열의 놈수렴

정의

함수열 $\left\{ f_n \right\}$이 주어졌다고 하자. $\| f_{n} - f \|$가 $0$으로 수렴하면 $f_{n}$이 $f$로 놈수렴한다converge in norm고 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ f_n \to f \text{ in norm } $$ 혹은 $$ \| f_n - f\| \to 0 $$ 혹은 $$ \lim \limits_{n \to 0} \| f_{n}-f\|=0 $$

설명

수열의 극한을 정의하기 위해서는 거리의 개념이 필요하다. 함수공간에서 거리는 놈으로 정의되기 때문에 함수열의 수렴을 위와 같이 정의한다.

함수의 적분으로 정의하기 때문에 $f_{n}$이 $f$로 놈수렴한다는 것은 주어진 구간에서 $f_n$와 $f$의 차이의 평균이 $0$으로 수렴함을 의미한다.

$$ f_n\rightarrow f\ \ \mathrm{in\ norm}\quad \iff \quad \int_a^b\left| f_n(x)-f(x) \right|^2 dx \rightarrow 0 $$

주의해야할 점은 놈수렴과 점별수렴이 서로를 보장해주지 않는다는 점 이다. 반면에 균등수렴은 놈수렴을 보장한다.

예시

놈수렴한다고 점별수렴하는 것은 아니다

구간 $[0,1]$에서 $f_n$이 아래와 같다고 하자.

$$ f_n(x) =\begin{cases} 1 & 0\le x \le \dfrac{1}{n} \\ 0 &\dfrac{1}{n}<x\le 1\end{cases} $$

그러면 $\lim \limits_{n \to \infty} \| f_n \| = 0$임을 아래와 같이 쉽게 보일 수 있다.

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \|f_n-0 \|^2 = \lim \limits_{n \to \infty} \int_0^1 |f(x)-0|^2 dx = \lim \limits_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}}dx = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 $$

그러나 명백히 모든 $n$에 대해서 $f_n(0)=1$이므로 $f_n(x)$는 $x=0$에서 $0$으로 수렴하지 않는다.

점별수렴한다고 놈수렴하는 것은 아니다

구간 $[0,1]$에서 $g_n$이 아래와 같다고 하자.

$$ g_n(x) = \begin{cases} n & 0<x<\dfrac{1}{n} \\ 0 & \mathrm{elsewhere} \end{cases} $$

그러면 모든 $n$에 대해서 $g_n(0)=0$이므로 $\lim \limits_{n \to \infty} g_n(x) = 0$이 성립한다. 그러나 $\lim \limits_{n \to \infty} \| g_{n} \| =0$은 성립하지 않는다.

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \| g_n-0 \|^2 = \lim \limits_{n \to \infty} \int_0^1 |g_n(x)-0|^2dx = \lim \limits_{n \to \infty} \int_0^{ \frac{1}{n} } n^2dx = \lim \limits_{n \to \infty} n = \infty \ne 0 $$

정리

구간 $[a,b]$에서 $f_n(x)$가 $f(x)$로 균등수렴한다고 하자. 그러면 $f_n$은 $f$로 놈수렴한다.

증명

균등수렴할 조건에 따라 모든 $x \in [a,b]$에 대해서 $|f_n(x)-f(x)| \le M_n$이 존재하여 $\lim \limits_{n \to \infty} M_n = 0$을 만족한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ \|f_n-f \|^2 = \int_a^b|f_n(x)-f(x)|^2dx \le \int_a^b {M_n}^2dx=(b-a){M_n}^2 $$

그러므로 $f_n$는 $f$로 놈수렴한다.

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \|f_n-f \|^2 \le \lim \limits_{n \to \infty} (b-a){M_n}^2 = 0 $$

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