Lp 수렴

Lp 수렴

Convergence in Lp

정의 1

함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 어떤 함수 $f$ 에 대해 다음을 만족하면 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $f$ 로 $L^{p}$ 수렴한다고 말한다.

$$ \lim_{n \to \infty} \left\| f_{n} - f \right\|^{p} = 0 $$

시퀀스 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 다음을 만족하면 $L^{p}$ 에서 코시Cauchy in $L^{p}$라 한다.

$$ \lim_{n, m \to \infty} \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{p} = 0 $$

설명

물론 $\left\| \cdot \right\|_{p}$ 는 $p$-놈으로써 다음과 같이 정의된다.

$$ \left\| f \right\|_{p} := \left( \int_{E} | f |^{p} dm \right) ^{{{1} \over {p}}} $$

함수의 시퀀스가 $L^{p}$ 수렴한다(converge in $L^{p}$)는 말은 놈 센스에서 수렴함을 말한다. 르벡 공간의 성질에서 $p \le q$ 일 때 $f_{n}$ 이 $L^{q}$ 수렴하면 $L^{p}$ 수렴함을 말할 수 있다.

같이보기


  1. Bartle. (1995). The Elements of Integration and Lebesgue Measure: p58. ↩︎

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