측도론으로 정의되는 분포 수렴

측도론으로 정의되는 분포 수렴

정의

거리 공간 $S$ 의 보렐 시그마 필드 $\mathcal{S}:= \mathcal{B}(S)$ 에 대해 가측 공간 $(S,\mathcal{S})$ 을 정의하자.

확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 에서 정의된 확률 변수 $X$ 와 확률 과정 $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 $n \to \infty$ 일 때 모든 $f \in C_{b}(S)$ 에 대해 다음을 만족하면 $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 $X$ 로 분포 수렴한다Converge in Distribution고 말하고 $X_{n} \overset{D}{\to} X$ 와 같이 나타낸다. $$ \int_{\Omega} f(X_{n}) dP \to \int_{\Omega} f(X) dP $$


정리

설명

증명

[1]

모든 $f \in C_{b}(S)$ 에 대해 $$ \begin{align*} P_{n} \overset{W}{\to} P \iff & \int_{S} f dP_{n} \to \int_{S} f dP \\ \iff & \int_{\Omega} f(X_{n}) dP \to \int_{\Omega} f(X) dP \\ \iff & X_{n} \overset{D}{\to} X \end{align*} $$

[2]

$(\Rightarrow)$ $X_{n} \overset{D}{\to} X$ 가 성립하지 않는다면 $$ \int_{\Omega} f(X_{n}) dP \to \int_{\Omega} f(X) dP $$ 가 성립하지 않는 $f \in C_{b}(S)$ 가 존재한다고 가정해보자. 다시 말해, $$ \displaystyle \left| \int_{\Omega} f(X_{n’}) dP - \int_{\Omega} f(X) dP \right| > \varepsilon $$ 를 만족하는 $\varepsilon > 0$ 과 서브 시퀀스의 인덱스 $\left\{ n' \right\}$ 가 존재한다고 가정하는 것이다. 그런데 이는 $$ \int_{\Omega} f(X_{n''}) dP \to \int_{\Omega} f(X) dP $$ 를 만족하는 서브 시퀀스의 인덱스의 서브 시퀀스 $\left\{ n'' \right\}$ 가 항상 존재하므로 모순이다.


$(\Leftarrow)$

$\left\{ n'' \right\} = \left\{ n \right\}$ 이라고 두면 자명하게 성립한다.

[3]

$P_{X}$ 는 $X$ 에서 유도된 확률 측도, 즉 $P_{X}(A) := P \left( X^{-1}(A) \right) = P(X \in A)$ 이라고 하자. $$ \overline{h^{-1}(B)} \subset h^{-1}(B) \cup C_{h}^{c} $$ $S'$ 에서 닫힌 모든 집합 $B$ 에 대해 위의 포함관계가 성립한다. 임의의 $x \in \overline{h^{-1}(B)}$ 를 생각해보면, $h$ 가 연속인 부분에 대해서는 닫힘을 보존해서 $h^{-1}(B)$ 이 포함하고 연속이 아닌 부분의 프리 이미지는 $C_{h}^{c}$ 가 포함하기 때문이다. 클로져 $\overline{h^{-1}(B)}$ 는 $S$ 에서 닫힌 집합이므로 $$ \begin{align*} \limsup_{n \to \infty} P \left( h ( X_{n} ) \in B \right) =& \limsup_{n \to \infty} P \left( X_{n} \in h^{-1} (B) \right) \\ =& \limsup_{n \to \infty} P_{X} \left( h ( X_{n} )^{-1}(B) \right) \\ =& \limsup_{n \to \infty} P_{X} \left( \left[ X_{n}^{-1} \circ h^{-1} \right] (B) \right) \\ =& \limsup_{n \to \infty} P_{X} \left( X_{n}^{-1} \left( h^{-1} (B) \right) \right) \\ =& \limsup_{n \to \infty} P_{n} \left( h^{-1} (B)\right) \\ \le & \limsup_{n \to \infty} P_{n} \left( \overline{h^{-1} (B)} \right) \end{align*} $$

혼성 정리: 공간 $S$ 가 거리 공간 $( S , \rho)$ 이면서 가측 공간 $(S,\mathcal{B}(S))$ 이라고 하자. 다음은 모두 동치다.

  • (1): $P_{n} \overset{W}{\to} P$
  • (2): 모든 바운디드, 균등연속함수 $f$ 에 대해 $\displaystyle \int_{S} f dP_{n} \to \int_{S}f d P$
  • (3): 모든 클로즈드 셋 $F$ 에 대해 $\displaystyle \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F)$
  • (4): 모든 오픈 셋 $G$ 에 대해 $\displaystyle P(G) \le \liminf_{n\to\infty} P_{n}(G)$
  • (5): $P(\partial A) = 0$ 인 모든 $A$ 에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A) = P(A)$

[1]에 따라 $X_{n} \overset{D}{\to} X$ 이면 $P_{n} \overset{W}{\to} P_{X}$ 이고, 혼성 정리의 $(1) \implies (3)$ 과 가정 $P_{X}(X \in C_{h}^{c}) = 0$ 에 의해 $$ \begin{align*} \limsup_{n \to \infty} P_{X} \left( h ( X_{n} )^{-1}(B) \right) \le & \limsup_{n \to \infty} P_{n} \left( \overline{h^{-1} (B)} \right) \\ \le & P_{X} \left( \overline{h^{-1} (B)} \right) \\ \le & P_{X} \left( h^{-1} (B) \cup C_{h}^{c} \right) \\ \le & P _{X}\left( h^{-1} (B) \right) + P_{X} \left( C_{h}^{c} \right) \\ \le & P_{X} \left( h^{-1} (B) \right) \\ \le & P_{X} \left( X^{-1} \left( h^{-1} (B) \right) \right) \\ \le & P_{X} \left( \left( h(X) \right)^{-1} (B) \right) \end{align*} $$ 같은 방법으로 $\displaystyle P_{X} \left( \left( h(X) \right)^{-1} (B) \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{X} \left( h ( X_{n} )^{-1}(B) \right)$ 임을 보이면 $$ \lim_{n \to \infty} P_{X} \left( h ( X_{n} )^{-1}(B) \right) = P_{X} \left( \left( h(X) \right)^{-1} (B) \right) $$

같이보기

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