컴팩트 거리공간에서 연속 함수는 균등 연속임을 증명

컴팩트 거리공간에서 연속 함수는 균등 연속임을 증명

continuous function is uniformly continuous in compact metric space

정리

$(X,d_{X})$가 컴팩트 거리공간, $(Y,d_{Y})$가 거리공간, $f:X\to Y$가 연속이라고 하자. 그러면 $f$는 $X$에서 균등연속이다.


컴팩트라는 조건은 빠지면 안된다.

증명

임의의 양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 $f$가 연속이라고 가정했으므로 정의에 의해, 각각의 점 $p\in X$에 대해서 아래의 식을 만족시키는 양수 $\delta_{p}$가 존재한다.

$$ \forall q\in X,\quad d_{X}(p,q)<\delta_{p} \implies d_{Y}(f(p),f(q))<\frac{\varepsilon}{2} $$

이제 아래와 같은 집합을 생각해보자.

$$ N_{p}:= \left\{ q : d_{X}(p,q)<\frac{1}{2}\delta_{p} \right\} $$

$p \in N_{p}$이므로 모든 $N_{p}$의 컬렉션은 $X$의 오픈 커버가 된다. $X$는 컴팩트라고 가정했으므로 아래의 식을 만족시키는 $p_{1},\cdots,p_{n}$이 존재한다.

$$ \begin{equation} X \subset N_{p_{1}}\cup \cdots \cup N_{p_{n}} \tag{2} \label{eq1} \end{equation} $$

이제 $\delta=\frac{1}{2} \min (\delta_{p_{1}},\cdots,\delta_{p_{n}})$이라고 하자. 그러면 $\delta$는 분명히 양수이다. 이제 $d_{X}(p,q)<\delta$를 만족시키는 두 점 $p,q \in X$를 생각해보자. 그러면 $\eqref{eq1}$에 의해 $p \in N_{p_{m}}$을 만족시키는 $m(1\le m \le n)$이 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ d_{X}(p,p_{m}) \le \frac{1}{2}\delta_{p_{m}} $$

그러면 아래의 식이 성립한다.

$$ d_{X}(q,p_{m}) \le d_{X}(q,p) + d_{X}(p,p_{m}) < \delta + \frac{1}{2}\delta_{p_{m}} \le \delta _{p_{m}} $$

따라서

$$ d_{X}(p,q)<\delta \implies d_{Y}(f(p),f(q))\le d_{Y}(f(p),f(p_{m})) + d_{Y}(f(p_{m}),f(q))<\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon $$

가 성립하므로 $f$는 균등 연속이다.

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