거리공간에서 연속성과 컴팩트

거리공간에서 연속성과 컴팩트

정리

$X$를 컴팩트 거리공간, $Y$를 거리공간, $f:X\to Y$가 연속이라고 하자. 그러면 $f(X)$는 컴팩트이다.


이때 컴팩트라는 조건은 빠지면 안된다.

증명

$\left\{ O_\alpha \right\}$를 $f(X)$의 오픈 커버라고 하자. 그러면 $f$가 연속이므로, 동치조건에 의해 각각의 프리이미지 $f^{-1}(O_{\alpha})$도 $X$에서 열린 집합이다. 그러면 $\left\{ f^{-1}(O_{\alpha}) \right\}$는 $X$의 오픈 커버이고, $X$가 컴팩트이므로

$$ X \subset f^{-1}(O_{\alpha_{1}})\cup \cdots \cup f^{-1}(O_{\alpha_{n}}) $$

을 만족시키는 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$이 존재한다. 따라서 위 식과 프리이미지의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ f(X) \subset O_{\alpha_{1}}\cup \cdots \cup O_{\alpha_{n}} $$

따라서 $f(X)$는 컴팩트이다.

따름정리

$X$를 컴팩트 거리공간, $\mathbf{f} :X\to \mathbb{R}^{k}$가 연속이라고 하자. 그러면 $\mathbf{f}(X)$는 닫혀있고 유계이다. 또한 $\mathbf{f}$도 유계이다.

정의

실수값 함수 $\mathbf{f}: E \to \mathbb{R}^{k}$가 주어졌다고 하자. 모든 $x \in E$에 대해서

$$ \left|\mathbf{f}(x) \right| \le M $$

을 만족시키는 실수 $M$이 존재하면 $\mathbf{f}$를 유계라고 한다.

증명

유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건과 위의 정리에 의해 $\mathbf{f}(X)$는 닫혀있고 유계이다. $\mathbf{f}(X)$가 유계이므로 $\mathbf{f}$도 유계이다.

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