작도가능수

작도가능수

정의

$1$ 을 포함해 유한번의 사칙연산과 제곱근을 취함으로써 얻을 수 있는 수를 작도가능Constructible하다고 한다.

설명

작도가능이라는 것은 원래 고대 그리스의 논증 기하에서 논의되던 개념이었으나, 현대대수학을 동원하면 캠퍼스로 원을 그리고 자로 선을 그리는 과정이 딱히 필요 없어진다. 어떻게 이 연산들이 작도를 대신하는지 살펴보자.

덧셈과 뺄셈

20181223\_155423.png 덧셈과 뺄셈은 선분의 끝에 더하거나 빼고싶은 수를 반지름으로 갖는 원을 그림으로써 얻는다.

곱셈과 나눗셈

20181223\_161943.png 곱셈과 나눗셈은 평행선과 삼각형의 닮음을 이용해서 얻는다.

제곱근

20181223\_155448.png

제곱근은 직각삼각형의 닮음을 이용해서 얻는다.

유리수

$1$ 을 유한번 더함으로써 $\mathbb{N}$ 을 얻고, $1-1 = 0$ 으로써 $0$ 을 얻고, $0$ 에서 $1$ 을 유한번 뺌으로써 $\mathbb{Z}$ 를 얻고, 정수끼리 나눔으로써 $\mathbb{Q}$ 를 얻는다. 따라서 작도가능한 수의 집합은 적어도 유리수체보다는 크며, 루트를 허용함으로써 조금 더 큰 체를 얻을 수 있다. 결론적으로, 모든 유리수는 작도가능이다.

대수적 수와 초월수

무리수라도 얼마든지 작도가능일 수 있다. 예를 들어 무리수 $\sqrt{ 1+ \sqrt{3} }$ 는 $3$ 에 루트를 취하고 $1$ 을 더한 뒤 다시 루트를 취해서 얻을 수 있으므로 작도가능이다. 그러나 $\pi$ 과 같은 초월수는 작도가능이 아니다.

정의에서 작도가능수는 대수적 수가 됨을 쉽게 짐작할 수 있는데, 예를 들어 $\sqrt{2}$ 는 $2$ 에 루트를 취해서 얻을 수 있는 동시에 $(x^{2} - 2 ) \in \mathbb{Q} [ x ]$ 의 영으로써 대수적 수이기도 하다. 거꾸로 계산해보면 $a = \sqrt{ 1+ \sqrt{3} }$ 와 같은 수는 $$ \begin{align*} & a^2 = 1 + \sqrt{3} \\ &=a^2 - 1 = \sqrt{3} \\ =& \left( a^2 - 1 \right)^2 = 3 \\ =& a^4 - 2 a^2 - 2 = 0 \end{align*} $$ 이므로 $\left( a^4 - 2 a^2 - 2 \right) \in \mathbb{Q} [ x ]$ 의 영으로써 대수적 수이기도 하다.

정리

증명

[1]

작도가능의 정의에 의해 자명하다.

[2]

$$ \left[ \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} , a_{i} \right) : \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} \right) \right] = 2 $$ 이라는 것은 어떤 $q \in \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} \right)$ 에 대해 $a_{i} = \sqrt{q}$ 라는 뜻이다. 이러한 $a_{i}$ 를 첨가한다는 것은 기존의 $\mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} \right)$ 에 존재하는 어떤 $q_{1} a_{1} + \cdots + q_{i-1} a_{i-1}$ 이라는 원소에 $a_{i}$ 를 더하고 뺀 뒤 유리수배를 할 수 있다는 의미로, $\mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i} \right)$ 는 유한번의 사칙연산과 제곱근으로 얻은 작도가능수들을 유한번만큼 사칙연산을 함으로써 얻은 수들의 집합이 된다.

$\gamma$ 가 작도가능다는 것은 이러한 연산과정이 존재한다는 뜻이므로, $\mathbb{Q} ( \gamma) = \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right)$ 을 만족하는 유한수 $n \in \mathbb{N}$ 역시 존재한다.

유한확대체의 성질: $E$ 가 $F$ 의 유한확대체, $K$ 가 $E$ 의 유한확대체라고 하자.

  • [2]: $$[E : F] = 1 \iff E = F$$
  • [3]: $$[K : F] = [K : E ] [E : F]$$

그러면 유한확대체의 성질에서 $$ \begin{align*} 2^n =& \left[ \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right) : \mathbb{Q} \right] \\ =& \left[ \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right) : \mathbb{Q} ( \gamma ) \right] \left[ \mathbb{Q} ( \gamma ) : \mathbb{Q} \right] \end{align*} $$ 한편 $\mathbb{Q} ( \gamma) = \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right)$ 이므로 다음이 성립한다. $$ 2^n = \left[ \mathbb{Q} ( \gamma ) : \mathbb{Q} \right] $$

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