거리공간에서 연결 집합

거리공간에서 연결 집합

정의

거리공간 $X$의 두 부분 집합 $A$, $B$가

$$ A \cap \overline{B}= \varnothing \quad \text{and} \quad \overline{A}\cap B= \varnothing $$

을 만족시키면, $A$와 $B$는 분리되었다separated고 한다. 다시 말해 $B$의 폐포에 포함되는 $A$의 점이 없고, $A$의 폐포에 포함되는 $B$의 점이 없다는 뜻이다. 부분 집합 $E \subset X$가 공집합이 아닌 분리된 두 집합의 합집합으로 표현되지 않으면 $E$는 연결되었다connected고 한다.


위의 정의를 곰곰이 생각해보면 ‘연결되었다’라는 것은 ‘확실하게 겹치는 집합들의 합집합으로 표현되는 집합’을 표현하기 위해 만든 개념이라는 것을 알 수 있다.

정리

$E \subset \mathbb{R}$에 대해서 아래의 두 명제는 동치이다.

(a) $E$가 연결 집합이다.

(b) $x ,y\in E$이고 $x<z<y$이면, $z \in E$이다.

증명


  1. 정리2 (2a), 정리4 참고 ↩︎

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