켤레전치행렬

켤레전치행렬

정의

$A$를 크기가 $m \times n $인 복소수 행렬이라고 하자. $\overline{A}$를 다음과 같이 정의하고 $A$의 켤레 행렬conjugate matrix이라고 한다.

$$ \overline{A} :=\begin{bmatrix} \overline{a_{11}} & \overline{a_{12}} & \cdots & \overline{a_{1n}} \\ \overline{a_{21}} & \overline{a_{22}} & \cdots & \overline{a_{2n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \overline{a_{m1}} & \overline{a_{m2}} & \cdots & \overline{a_{mn}} \end{bmatrix} = \left[ \overline{a_{ij}} \right] $$

이때 $\overline{a}$는 $a$의 켤레 복소수이다. 다시 말해서 각 성분의 켤레 복소수를 성분으로 가지는 행렬을 켤레 행렬이라고 한다. $A$를 크기가 $m\times n$인 복소수 행렬이라고 하자. $A^{\ast}$를 다음과 같이 정의하고 $A$의 켤레 전치conjugate transpose라고 한다.

$$ A^{\ast} := \overline{A^{T}} = \left( \overline{A} \right) ^{T} $$

설명

$A^{\ast}$외에 쓰이는 표기법으로는 $A^{\dagger}$, $A^{H}$가 있다. $A^{\dagger}$는 [에이 대거]라고 읽고 $A^{H}$의 $H$는 에르미트 행렬에서 따왔다. 물리학, 특히 역자역학에서는 $A^{\ast}$를 켤레 행렬의 의미로만 쓰기도 한다. 그래서 $A^{\dagger}=(A^{\ast})^{T}$와 같이 표기한다. 한편 수치선형대수 등에서는 역행렬은 아니지만 역행렬처럼 작용하는 ‘유사역행렬’의 표기로 $A^{\dagger}$를 사용한다. 선형대수가 워낙 광범위하게 쓰이는만큼 이러한 노테이션 문제는 본인이 정신을 똑바로 차리고 그 때 공부하는 과목을 잘 따라가는 수밖에 없다.

성질1

$A,B$를 임의의 복소수 행렬, $k\in \mathbb{C}$라고 하자.

(a) $\overline{\overline{A}}=A$

(b) $\overline{(AB)} = \overline{A}\ \overline{B}$

(c) $(A^{\ast})^{\ast}=A$

(d) $\left( A \pm B\right)^{\ast} = A^{\ast} \pm B^{\ast}$

(e) $(kA)^{\ast}=\overline{k}A^{\ast}$

(f) $\left( AB \right)^{\ast} = B^{\ast} A^{\ast}$

증명

(a) (b)

켤레 복소수의 성질과 행렬곱의 정의에 의해 자명하다.

(c) (d) (e)

(a), 전치행렬의 성질 $ \left( A^{T} \right) ^{T} = A $ , 행렬 덧셈의 정의에 의해 성립한다.

(f)

(b), 전치행렬의 성질 $\left( AB \right) ^{T} = B^{T} A^{T}$에 의해 성립한다.


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p437 ↩︎

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