포물선을 반평면으로 대응시키는 등각사상

포물선을 반평면으로 대응시키는 등각사상

정리 1

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등각사상 $\displaystyle w = f(z) = z^{1/2}$ 은 포물선을 반평면으로 대응시킨다.

설명

$\mathbb{R}^2$ 에서 배운 것을 생각해보면야 당연하긴하지만 복소평면에서도 성립하는지는 체크가 필요하다. 깔끔하게 세로축을 기준으로 가르고 싶다면 $\xi = w - a$ 만 한번 더 취해주면 된다.

증명

$$ z = x + i y \\ w = u + i v $$ 라고 두면 $$ z = w^2 = (u + iv)^2 = u^2 - v^2 + i 2 uv = x + iy $$ 이므로 $$ 4 u^2 (u^2 - x ) = y^2 $$ 따라서 $y^2 = 4 a^2 (a^2 - x )$ 는 $Z$-평면에서의 포물선이고, $f$ 에 의해 $W$-평면 상의 직선 $u=a$ 로 대응된다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p214. ↩︎

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