등각사상은 내각의 크기를 보존한다

등각사상은 내각의 크기를 보존한다

Conformal mapping preserves internal angle scale

정리 1

영역 $\mathscr{R}$ 에서 함수 $f$ 가 등각사상이고 곡선 $\mathscr{C}_{1}$ 과 $\mathscr{C}_{2}$ 가 한 점 $\alpha$ 에서 만나며 그 내각을 $\psi$ 라고 하자.

$\mathscr{C}_{1}’$ 과 $\mathscr{C}_{2}’$ 가 $\mathscr{C}_{1}$ 과 $\mathscr{C}_{2}$ 를 $f$ 로 보낸 상이라고 하면 두 곡선은 $\beta = f ( \alpha )$ 에서 만나며 그 내각 역시 $\psi$ 다.

설명

해석학답게 말은 어렵지만 요는 도형들이 이루는 내각을 등각사상이 보존한다는 것이다. 애초에 등각사상이라는 이름 자체가 이러한 성질에서 나온 것이다.

한편 이렇게 각의 크기는 보존하되 부호가 반대가 되도록 하는 사상을 등편각 사상Isogonal Mapping이라고 한다.

증명

$f$ 는 $z = x + iy$ 를 $w = u + iv$ 로 보내는 등각사상이다.

$\mathscr{C}_{1}$ 과 $x$ 축이 이루는 내각의 크기를 $\psi_{1}$, $\mathscr{C}_{1}$ 상의 한 점을 $z_{1}$ 이라고 하자. 비슷하게 $\mathscr{C}_{2}$ 과 $x$ 축이 이루는 내각의 크기를 $\psi_{2}$, $\mathscr{C}_{2}$ 상의 한 점을 $z_{2}$ 이라고 하자. 그러면 $\mathscr{C}_{1}$ 과 $\mathscr{C}_{2}$ 이 이루는 내각은 $\psi_{2} - \psi_{1} = \psi$ 이 될 것이다.

$$ z - \alpha := r e^{i \theta_{1}} \\ z_{2} - \alpha = r e^{i \theta_{2}} $$ 이라고 두면 $r \to 0$ 일 때 $$ \theta_{1} \to \psi_{1} \\ \theta_{2} \to \psi_{2} $$ 이다. 한편 $w_{k}: = f(z_{k})$ 라 하면 $$ w_{1} - \beta = R_{1} e^{i \phi _{1}} \\ w_{2} - \beta = R_{2} e^{i \phi _{2}} $$ 이다. 가정에서 $f ' (\alpha) \ne 0$ 가 존재한다고 했으므로, $\rho > 0$ 에 대해 $f ' (\alpha) = \rho e^{ i \lambda }$ 로 둘 수 있다.

$$ f ’ ( \alpha) = \lim_{z_{1} \to \alpha } {{w_{1} - \beta } \over {z_{1} - \alpha }} = \lim_{z_{1} \to \alpha} {{R_{1}} \over {r}} e^{ i ( \phi_{1} - \theta_{1} )} = \rho e^{ i \lambda } $$ 이므로 $$ \lim_{z_{1} \to \alpha } (\phi_{1} - \theta_{1}) = \lambda $$ 고, 이에 따라 $$ \lim_{w_{1} \to \beta } \phi_{1} = \psi_{1} + \lambda \\ \lim_{w_{2} \to \beta } \phi_{2} = \psi_{2} + \lambda $$ 를 얻을 수 있다. 따라서 $\mathscr{C}_{1}’$ 과 $u$ 축이 이루는 내각의 크기는 $\psi_{1} + \lambda$ 고 $\mathscr{C}_{2}’$ 과 $u$ 축이 이루는 내각의 크기는 $\psi_{2} + \lambda$ 이 된다. 마지막으로, $\mathscr{C}_{1}’$ 과 $\mathscr{C}_{2}’$ 이 이루는 내각은 $\lambda$ 끼리 상쇄되어 $$ (\psi_{2} + \lambda) - (\psi_{1} + \lambda) = \psi_{2} - \psi_{1} = \psi $$ 이 된다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p194. ↩︎

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