📂양자역학

임의의 두 연산자 에이 비가 허미션 연산자일 때 에이비가 허미션 연산자일 조건

condition which product of two hermitian is hermitian

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두 허미션 연산자 $A,B$가 교환 관계$\mathrm{Commute}$이면 $AB$도 허미션 연산자$\mathrm{Hermitian\ Operator}$이다.참고로 역도 성립한다.

증명

$AB$가 허미션 연산자임을 보이려면 $(AB)^\dagger=AB$임을 보이면 된다.$[A,B]=AB-BA $$ \implies AB=BA+[A,B] $$ (AB)^\dagger = (BA+[A,B])^\dagger = (BA)^\dagger + [A,B]^\dagger = AB + [A,B]^\dagger $이 때 $[A,B]^\dagger=0$이면 $(AB)^\dagger = AB$이다.따라서 $[A,B]=0$ 이면 $AB$는 허미션 연산자이다.

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증명(역)

$A,B$가 허미션 연산자이므로$(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger = BA$이 때 $AB$가 허미션 연산자이면$(AB)^\dagger=AB$따라서 $AB=BA$ 즉, $AB-BA=0 $$ \therefore [A,B]=0$

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또한 위 명제의 대우를 살펴보면교환 가능하지 않은 두 연산자를 곱하면 허미션 연산자가 아니라는 것을 알 수 있다.