임의의 두 연산자가 교환 관계일 조건
Condition Under Which Two Operators are Commutetive
정리
임의의 서로 다른 두 연산자의 공통의 고유함수가 존재하면 두 연산자는 교환 가능하다. 즉,
$$ \begin{cases} A\psi=a\psi \\ B\psi=b\psi \end{cases} $$
이면 $[A,B]=0$이다. 이때 $\psi$는 규격화된 고유함수이다.
증명
$$ \begin{align*} AB\psi =&\ Ab\psi \\ =&\ bA\psi \\ =&\ ba\psi \\ =&\ ab\psi \\ =&\ aB\psi \\ =&\ Ba\psi \\ =&\ BA\psi \end{align*} $$
$$\implies AB \psi - BA \psi = (AB-BA) \psi = 0$$
따라서 $[A,B]=0$이다.
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