임의의 두 연산자가 교환 관계일 조건

임의의 두 연산자가 교환 관계일 조건

Condition Under Which Two Operators are Commutetive

정리

임의의 서로 다른 두 연산자의 공통의 고유함수가 존재하면 두 연산자는 교환 가능하다. 즉,

$$ \begin{cases} A\psi=a\psi \\ B\psi=b\psi \end{cases} $$

이면 $[A,B]=0$이다. 이때 $\psi$는 규격화된 고유함수이다.

증명

$$ \begin{align*} AB\psi =&\ Ab\psi \\ =&\ bA\psi \\ =&\ ba\psi \\ =&\ ab\psi \\ =&\ aB\psi \\ =&\ Ba\psi \\ =&\ BA\psi \end{align*} $$

$$\implies AB \psi - BA \psi = (AB-BA) \psi = 0$$

따라서 $[A,B]=0$이다.

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