코시-리만 방정식의 역이 성립하는 조건
Condition for converse of cauchy riemann equation hold
정리
함수 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 실수값을 가지는 함수 $u,v$ 에 대해 $f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ 로 나타날 수 있고 $u,v$ 는 $x,y$ 에 대한 연속일차편도함수가 존재하는 동시에 연립미분방정식 $$ \begin{cases} u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) \\ u_{y} (x,y) = -v_{x} (x,y) \end{cases} $$ 을 만족한다면, $f$ 는 $A$ 에서 해석적이다.
설명
해석학은 항상 이렇게 말이 길어서 읽기도 싫은 게 문제다. 간단하게 요약하자면, 코시-리만 방정식의 역이 성립하려면 편도함수들이 연속이어야한다는 말이다. 당연히 우리가 다룰 대부분의 함수들은 이 조건을 쉽게 만족한다.
증명
$h=\alpha + i \beta$ 로 두면 $$ f(z+h) - f(z) = [ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) ] + i [ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) ] $$ 평균값의 정리에 의해 $$ \begin{align*} & u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) \\ =& u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) + u(x,y+\beta) - u(x,y) \\ =& [u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta)] + [u(x,y+\beta) - u(x,y)] \\ =& \alpha u_{x} (x+\theta \alpha,y+\beta) + \beta u_{y} (x,y+\phi \beta) \end{align*} $$ 를 만족하는 $0<\theta<1$와 $0<\phi<1$ 가 존재한다. 이제 $$ u_{x} (x+\theta \alpha,y+\beta) = u_{x} + \varepsilon_{1} \\ u_{y} (x,y+\phi \beta) = u_{y} + \varepsilon_{2} $$ 라고 두면 가정에서 $u_{x}$와 $u_{y}$ 가 연속이라고 했으므로 $(\alpha,\beta) \to 0$ 일 때 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \to 0$ 일 것이다. 따라서 $$ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) = \alpha u_{x} + \beta u_{y} + \alpha \varepsilon_{1} + \beta \varepsilon_{2} $$ 이 부분 때문에 연속성이 필요하다. 같은 방식으로 $v$ 에 대해서 나타내면 $$ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) = \alpha v_{x} + \beta v_{y} + \alpha \eta_{1} + \beta \eta_{2} $$ 다시 $f(z+h) - f(z)$ 로 돌아가보면 $u,v$ 가 코시-리만 방정식을 만족하므로 $$ \begin{align*} & f(z+h) - f(z) \\ =& [ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) ] + i [ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) ] \\ =& [\alpha u_{x} + \beta u_{y} + \alpha \varepsilon_{1} + \beta \varepsilon_{2}] + i [\alpha v_{x} + \beta v_{y} + \alpha \eta_{1} + \beta \eta_{2}] \\ =& h(u_{x} + i v_{x}) + \alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2} \end{align*} $$ 여기서 $\xi_{1} =\varepsilon_{1} + \eta_{1}$ 이고 $\xi_{2} =\varepsilon_{2} + \eta_{2}$ 이다. 이제 $$ f ' (z) = \lim_{h \to 0} {{f(z+h) - f(z)} \over h} = \lim_{h \to 0} \left( u_{x} + i v_{x} + {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} \right) $$ 이므로 $\lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0$ 임을 보이면 증명이 끝난다.
다음의 부등식 $$ \left| {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over {h}} \right| \le { {\max (|\alpha|,|\beta|)} \over {\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} } |\xi_{1} + \xi_{2}| \le |\xi_{1} + \xi_{2}| \le |\xi_{1}| + |\xi_{2}| $$ 에서 $$ \lim_{h \to 0} \xi_{1} = 0 \\ \lim_{h \to 0} \xi_{2} = 0 $$ 이므로 $$ \lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0 $$
■