컴프턴 산란
compton scattering
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컴프턴 산란1은 X선이 전자와 만났을 때 X선과 전자가 튕겨져 나가는 현상을 말한다. 이때 산란된 X선은 파장이 길어지는데 에너지의 관점으로 말하자면 에너지가 줄어드는 것이다. 이는 X선 즉, 빛이 입자의 성질을 지니고 있다는 증거가 된다. 증명 운동량 보존 법칙과 에너지 보존 법칙을 사용하여 결과를 이끌어낸다. $\mathbf{p}_\gamma$는 충돌 전 광자의 운동량, $\mathbf{p}_e$는 충돌 전 전자의 운동량, $\mathbf{p}_\gamma^{\prime}$은 충돌 후 광자의 운동량, $\mathbf{p}_e^{\prime}$은 충돌 후 전자의 운동량이라고 하자.
** Part 1. 운동량 보존 법칙**
$$
\mathbf{p}_{\gamma}+\mathbf{p}_{e}=\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime}+\mathbf{p}_{e}^{\prime}
$$
충돌 후의 전자에 대해서는 정보가 없으므로 $\mathbf{p}_{e}^{\prime}$에 대해서 정리하자.
$$
\mathbf{p}_{\gamma}+\mathbf{p}_{e}-\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime}=\mathbf{p}_{e}^{\prime}
$$
충돌 전 전자는 정지상태 이므로 $\mathbf{p}_{e}=0$이다.
$$
\begin{align*}
&&(\mathbf{p}_{\gamma}-\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime})^2=&(\mathbf{p}_{e}^{\prime})^2
\\ \implies &&(p_\gamma)^2 +(p_\gamma^{\prime})^2-2 \mathbf{p}_{\gamma} \cdot \mathbf{p}_{\gamma}^{\prime} =&(p_e^{\prime})^2
\end{align*}
$$
광자의 정지질량은 $0$이므로 $ p_\gamma=\dfrac{E}{c}=\dfrac{h\nu}{c}$이고 이를 대입하면
$$
\frac{h^2\nu^2}{c^2}+\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2}-\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta=(p_e^{\prime})^2\tag{1}
$$
**** **** **Part 2. 에너지 보존 법칙** 이제 $E_\gamma$는 충돌 전 광자의 에너지, $E_{\gamma}^{\prime}$은 충돌 후 광자의 에너지, $E_e$는 충돌 전 전자의 에너지, $E_e^{\prime}$은 충돌 후 전자의 에너지라고 하자. 그러면
$$
\begin{align*}
&& E_\gamma+E_e =& E_{\gamma}^{\prime}+E_e^{\prime}
\\ \implies&& E_\gamma+E_e-E_{\gamma}^{\prime}=& E_e^{\prime}
\\ \implies&& (E_\gamma+E_e-E_{\gamma}^{\prime})^2=&(E_e^{\prime})^2
\\ \implies && (E_\gamma)^2+(E_e)^2+(E_{\gamma}^{\prime})^2+2E_\gamma E_e-2E_\gamma E_{\gamma}^{\prime}-2E_eE_{\gamma}^{\prime}=&(E_e^{\prime})^2
\end{align*}
$$
광자의 에너지는 $E=h\nu$이고 상대론적 에너지는 $ E=\sqrt{(mc^2)^2+p^2c^2}$이므로
$$
h^2\nu^2+m_e^2c^4+h^2{\nu^{\prime}}^{2}+2h\nu m_ec^2-2h^2\nu\nu^{\prime}-2m_ec^2h\nu^{\prime}=m_ec^4+(p_e^{\prime})^2c^2
$$
$(p_e^{\prime})^2$에 대해서 정리하면
$$
\frac{h^2\nu^2}{c^2} +\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2} +2m_e h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}=(p_e^{\prime})^2 \tag{2}
$$
**Part 3.** $(1)$과 $(2)$에 의해서
$$
\begin{align*}
&& \frac{h^2\nu^2}{c^2}+\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2}-\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta=&\ \frac{h^2\nu^2}{c^2} +\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2} +2m_e h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}
\\ \implies && -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta& =2m_e h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}
\\ \implies && 2m_e h(\nu-\nu^{\prime})=&\ \frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}(1-\cos\theta)
\\ \implies && (\nu-\nu^{\prime})=&\ \frac{h}{m_e}\frac{\nu\nu^{\prime}}{c^2}(1-\cos\theta)
\end{align*}
$$
양변에 $\nu\nu^{\prime}$을 나눠주고 c를 곱하면
$$
\frac{c}{\nu^{\prime}}-\frac{c}{\nu}=\frac{h}{m_e}\frac{1}{c}(1-\cos\theta)
$$
$ \displaystyle \lambda=\frac{c}{\nu}$이므로
$$
\lambda ^{\prime}-\lambda=\frac{h}{m_e c}(1-\cos\theta)
$$
$E=h\nu=\dfrac{ hc }{ \lambda }$이므로 위 식을 잘 정리하면
$$
\cos \theta=1-\frac{m_{e}c^{2}(E-E^{\prime})}{E^{\prime}E}
$$
■
$ \lambda ^{\prime}-\lambda=\dfrac{h}{m_e c}(1-\cos\theta) > 0$이므로 충돌 후 빛의 파장이 더 길어진다. 이는 실험 결과와 잘 들어맞고 빛이 입자의 성질을 지님을 뒷받침해준다.-
컴프턴 효과(Compton Effect)라고도 한다. ↩︎