선형변환의 합성과 역변환

선형변환의 합성과 역변환

정의1

설명

유한차원에서 유한차원으로의 선형변환의 경우 행렬과 같이 취급하므로 다음과 같이 표기하기도 한다.

$$ (T_{2}\circ T_{1}) (\mathbf{x} ) = T_{2}T_{1}\mathbf{x} $$

정리1

선형변환 $T_{1} : X \to Y$과 $T_{2} : Y \to Z$의 합성 $T_{2} \circ T_{1}$도 선형변환이다.

증명

$\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \in X$이고 $k$를 임의의 상수라고 하자. 그러면 $T_{1}, T_{2}$가 선형이므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} (T_{2} \circ T_{1})(\mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2}) &= T_{2} \left( T_{1} \left( \mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2} \right) \right) \\ &= T_{2} \left( T_{1} ( \mathbf{x}_{1} ) + k T_{1} ( \mathbf{x}_{2} ) \right) \\ &= T_{2} \left( T_{1} ( \mathbf{x}_{1} ) \right) + k T_{2}\left( T_{1} ( \mathbf{x}_{2} ) \right) \\ &= (T_{2} \circ T_{1}) ( \mathbf{x}_{1} ) + k (T_{2} \circ T_{1})( \mathbf{x}_{2} ) \end{align*} $$

정리2

선형변환 $T : X \to Y$의 역 $T^{-1} : R(T) \to X$도 선형변환이다.

증명

$\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \in X$이고 $k$를 임의의 상수라고 하자. 그러면 $T$가 선형이므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} T^{-1} \left( T(\mathbf{x}_{1}) + k T(\mathbf{x}_{2}) \right) &= T^{-1} \left( T(\mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2}) \right) \\ &= \mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2} \\ &= T^{-1}\left( T(\mathbf{x}_{1}) \right) + kT^{-1}\left( T(\mathbf{x}_{2}) \right) \end{align*} $$

정리3

선형변환 $T_{1} : X \to Y$과 $T_{2} : Y \to Z$가 일대일이면 다음이 성립한다.

증명

(a)

$\mathbf{x}_{1}$과 $\mathbf{x}_{2}$가 $X$의 서로 다른 벡터라고 하자. $T_{1}$이 일대일이므로 $T_{1}(\mathbf{x}_{1})$과 $T_{1}(\mathbf{x}_{2})$는 서로 다른 벡터이다. 그러면 $T_{2}$도 일대일이므로 다음의 두 벡터도 서로 다르다.

$$ (T_{2} \circ T_{1})(\mathbf{x}_{1}) = T_{2} \left( T_{1}(\mathbf{x}_{1}) \right) \quad \text{and} \quad (T_{2} \circ T_{1})(\mathbf{x}_{2}) = T_{2} \left( T_{1}(\mathbf{x}_{2}) \right) $$

따라서 $T_{2} \circ T_{1}$는 일대일이다.

(b)

$\mathbf{z}$가 $T_{2} \circ T_{1}$에 의한 $\mathbf{x} \in X$의 이라고 하자.

$$ \mathbf{z} = (T_{2} \circ T_{1}) ( \mathbf{x} ) = T_{2} ( T_{1} (\mathbf{x})) $$

양변에 $T_{2}^{-1}$를 취하면 다음과 같다.

$$ T_{2}^{-1}(\mathbf{z}) = ( T_{2}^{-1} \circ T_{2} \circ T_{1}) ( \mathbf{x} ) = T_{1} (\mathbf{x}) $$

양변에 $T_{1}^{-1}$를 취하면 다음과 같다.

$$ ( T_{1}^{-1} \circ T_{2}^{-1} )(\mathbf{z}) = ( T_{1}^{-1} \circ T_{1} ) ( \mathbf{x} ) = \mathbf{x} $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ (T_{1}^{-1} \circ T_{2}^{-1}) ( (T_{2} \circ T_{1} )(\mathbf{x}) ) = \mathbf{x} $$


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p465-468 ↩︎

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