연결 성분과 완전 분리 공간

연결 성분과 완전 분리 공간

Component and totally disconnected Space

정의

위상공간 $X$ 의 연결 부분공간들 중 자기 자신만을 연결 초집합Superset으로 갖는 연결 집합을 $X$ 의 연결 성분Connected Component이라 한다. 특히 $x \in X$ 를 포함하는 연결 성분을 $C_{x}$ 라 쓴다. $X$ 의 모든 연결 성분이 홑원소 집합이면 $X$ 를 완전 분리 공간Totally Disconnected Space이라 한다.

설명

연결성분

정의만 보면 말이 빙빙 도는 것처럼 보이지만 의외로 별 것 아닌 개념이다.

모든 연결 공간을 ‘성분’이라고 하기엔 너무나 많으므로 만약 자기 자신보다 큰 집합 중에 연결 집합이 있다면 제외한다. 그렇게 큰 집합을 계속해서 찾고, ‘덩어리’로 생각할 수 있는 것을 한 단위로 잡았다고 보면 된다.

간단한 예시로 휴休 라는 한자를 생각해보면 왼쪽의 인亻목木은 휴의 연결 성분이 되는 것이다. 어떤 연결 성분 이야기를 할 때 굳이 모든 연결 성분을 알거나 언급할 필요는 없다. 육로가 있냐 없냐를 연결로 생각한다면 우리나라는 육지와 제주도, 울릉도, 독도 등이 연결 성분라고만 해도 충분하다.

아래는 연결 성분에 대한 여러가지 성질들이다. 대부분 어렵지 않게 증명할 수 있으나 그에 집중하기 보단 팩트로써 익숙해지는 노력이 중요할 것이다.

연결성분의 성질

  • [1]: $x \in X$ 은 단 하나의 $C_{x}$ 에만 속한다.
  • [2]: $a,b \in X$ 에 대해 $C_{a} = C_{b}$ 이거나 $C_{a} \cap C_{b} = \emptyset$ 둘 중 하나다.
  • [3]: 모든 연결 공간은 어떤 연결 성분의 부분집합이다.
  • [4]: $X$ 의 모든 연결 성분은 $X$ 에서 닫힌 집합이다.
  • [5]: $X$ 가 연결 공간인 것과 $X$ 가 단 하나의 연결 성분을 갖는다는 것은 서로 동치다.

완전 분리 공간

한편 완전 분리 공간은 연결 공간의 정반대 개념으로 생각해도 무방한데, 여기서 정반대라는 게 부정을 의미하지는 않는다. 알다시피 연결 공간의 부정은 비연결 공간일 뿐이고, 완전 분리 공간은 ‘모든’ 부분집합에 대해 연결성이 결여된 것이다. 간단한 예시로 이산 공간이 있다.

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