푸리에 급수의 복소 표현

푸리에 급수의 복소 표현

공식

구간 $[-L,\ L)$에서 정의된 함수 $f$의 복소 푸리에 급수complex Fourier series는 다음과 같다.

$$ f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} $$

이때 복소 푸리에 계수는 다음과 같다.

$$ c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt $$

푸리에 계수에 대해 다음의 식을 만족한다.

$$ \begin{align*} a_{0} & = 2 c_{0} \\ a_{n} &= c_{n}+c_{-n} \\ b_{n} &= i(c_{n}-c_{-n}) \\ c_{n} &= \frac{1}{2} (a_{n}-ib_{n}) \\ c_{-n} &= \frac{1}{2} (a_{n}+ib_{n}) \end{align*} $$


삼각함수 꼴보다 간단하여 더 자주 쓰이는 폼이다.

증명

푸리에 급수

$$ \begin{equation} f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t }{L} \right) \end{equation} $$

$$ \begin{align*} \text{where}\quad a_{0} =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \\ \end{align*} $$

오일러 공식을 이용해서 코사인 함수와 사인 함수를 복소지수함수로 표현하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \cos \dfrac{n\pi t}{L} &= \dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} + e^{-i\frac{n\pi t}{L}} }{2} \\ \sin \dfrac{n \pi t}{L} &= \dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} - e^{-i\frac{n\pi t}{L}} }{2i} \end{align*} $$

이를 $(1)$에 대입하면 다음과 같다.

$$ f(t)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} + e^{-i\frac{n\pi t}{L}} }{2} + b_{n}\dfrac{e^{i\frac{n\pi t}{L}} - e^{-i\frac{n\pi t}{L}} } {2i} \right) $$

지수 함수를 기준으로 항을 묶어주면

$$ f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{2}\left(a_{n}-ib_{n} \right)e^{i\frac{n\pi t}{L}} +\dfrac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right) e^{-i\frac{n\pi t}{L} } \right) $$

이제 $c_{0}=\dfrac{a_{0}}{2}$, $c_{n}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}-ib_{n} \right)$, $c_{-n}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right)$이라고 두면 아래와 같다.

$$ f(t) =c_{0}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( c_{n}e^{i\frac{n\pi t}{L}} +c_{-n} e^{-i\frac{n\pi t}{L} } \right) $$

인덱스를 하나로 묶어 정리하면

$$ f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\frac{n \pi t}{L} } $$

또한 $c_{0}$, $c_{n}$, $c_{-n}$을 계산해보면

$$ \begin{align*} c_{0} &=\dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ c_{n}&=\dfrac{1}{2}\left(a_{n}-ib_{n} \right)=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt \quad (n=1,\ 2,\ \cdots ) \\ c_{-n}&=\dfrac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right)=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{i\frac{n \pi t}{L} }dt \quad (n=-1,\ -2,\ \cdots) \end{align*} $$

이므로

$$ c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt \quad (n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \cdots) $$

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