복소 측도 벡터 측도

복소 측도 벡터 측도

complex measure vector measure

정의1

$(X,\mathcal{E})$를 가측공간이라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 함수 $\nu : \mathcal{E} \to \mathbb{C}$를 $(X,\mathcal{E})$ 위의 복소 측도complex measure 혹은 벡터 측도vector measure라고 한다.

  • (a) $\nu (\varnothing) = 0$
  • (b) 서로소인 $E_j \in \mathcal{E}$에 대해서, $$ \nu \left( \bigcup \limits_{j=1}^\infty E_j \right) = \sum \limits_1 ^\infty \nu(E_j) $$

설명

(b)가산가법성을 의미한다. 복소 측도는 측도, 부호측도와는 다르게 확장된 실수값을 갖지 않도록 정의했다. 모든 방향에서 무한대 값을 가질 수 있기 때문이다. 따라서 유한 양측도는 복소 측도이다. 복소 측도 $\nu$를 아래와 같이 실수 부분, 허수 부분으로 나눌 수 있다.

$$ \begin{align*} \nu (E) &= \nu_r (E) + i \nu_i (E) \\ \nu_r (E) &= \text{Re} \big( \nu (E) \big) \\ \nu_i (E) &= \mathrm{Im} \big( \nu(E) \big) \end{align*} $$

그러면 $\nu_r$, $\nu_i$는 실수값을 가지는 부호측도가 된다. 적분에 대해서는 다음과 같이 자연스럽게 확장이 가능하다.

$$ L^1(\nu) \iff L^1(\nu_r) \cap L^1 (\nu_i) \\ \int f d\nu=\int f d\nu_r + i\int f d\nu_i\quad \mathrm{for} f\in L^1(\nu) $$

또한 두 복소 측도 $\nu$, $\mu$가 뮤츄얼리 싱귤러하다는 것은 각각의 실수, 허수 부분이 각각 싱귤러한 것으로 정의한다.

$$ \nu \perp \mu \iff \nu_a \perp \mu _b \quad \mathrm{for} a,b=r,i $$

마찬가지로 $\lambda$를 양측도라고 할 때 $\nu_r$, $\nu_i$가 각각 $\lambda$에 대해서 절대연속이면 복소 측도 $\nu$가 $\lambda$에 대해서 절대연속이라 한다.

같이보기


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p93 ↩︎

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