해석학의 세 가지 공리: 3 완비성 공리

해석학의 세 가지 공리: 3 완비성 공리

Completeness axioms

공리1

집합 $E \subset \mathbb{R}$ 이 공집합이 아니고 $E$ 가 위로 유계면 상한 $\sup(E) < \infty$ 가 존재한다.

설명

체 공리순서 공리는 이미 알던 걸 어렵게 다시 썼지만 완비성 공리는 언뜻 보기에 그렇지가 않다. 우선 여기 등장하는 단어들에 대해서 정의가 필요할 것 같다.

정의

$E$ 의 모든 원소 $a$ 에 대해 $a \le M$ 이 성립하면 $E$를 위로 유계bounded above라 하한다. 이러한 조건을 만족시키는 $M$ 을 모두 $E$의 상계upper bound라 부른다. $\sup(E)$는 $E$ 의 가장 작은 상계를 말하며, 모든 $E$ 의 상계 $M$ 에 대해서 $\sup (E) \le M$ 을 만족하는 수다. 이를 $E$ 의 최소상계supremum, 상한라고 부른다.

반대 부등호의 경우라면 아래와 같다.

$E$ 의 모든 원소 $a$ 에 대해 $a \ge m$ 이 성립하면 $E$를 아래로 유계bounded below라 한다. 이러한 조건을 만족시키는 $m$ 을 모두 $E$의 하계lower bound라 부른다. $\inf(E)$ 는 $E$ 의 가장 큰 하계를 말하며, 모든 $E$ 의 하계 $m$ 에 대해서 $\inf (E) \ge m$ 을 만족하는 수다. 이를 $E$ 의 최대하계infimum, 하한라 부른다.


갑자기 정의가 몇개씩 쏟아져서 혼란스럽겠지만 본질적으로 우리 개념을 흔드는 건 아니다. 그냥 어떤 집합이 어떨때 한계를 가진다고 하는지, 그럴때 한계를 어떻게 부르는지를 정의할 뿐이다.

다시 완비성공리로 돌아가보자면, 완비성 공리는 위에서 소개된 정의들을 되풀이 하는 느낌이 든다. 차이점은 간단하다. 정의에선 어디까지나 존재할 때 어떻게 부른다를 말할 뿐, 정말 존재하는지는 이야기 하지 않았다. 완비성 공리에서 그 ‘존재성’에 대한 이야기를 하고 있는 것이다.

그런데 과연 이게 공리여야할까 하는 의문이 들 것이다. 굳이 공리로 해야할만큼 기본적인 사실인걸까? 증명할 수 없나? 정의를 읽어봤을 땐 정의에 의해 당연히 이런 상한이 존재하며 증명할 수 있을 것 같지만 그렇지가 않다.

반증

$E$ 가 위로 유계라고 했으니 조건을 만족시킨 상계 $M$ 들이 있을 것이고, 상계 $M$ 들 중에는 그것들 중 가장 작은 값이 존재해서 상한 $\sup(E)$ 가 존재할 것이다. 그런데 뒤집어서 생각해보면, $\sup(E)$ 는 $-M$ 들 중에 가장 큰 값, 즉 상한이다. 애초에 가장 작은 값이 존재한다는 주장 자체가 상한의 존재성을 근거로 한 것이다. 이로써 순환 논리에 빠질 수밖에 없다.


상이든 하든 크든 작든 방향만 반대지 논증이 빙빙 돌게 된다. 결국 우리는 이러한 상한 혹은 하한의 존재성을 밝힐 수가 없는 것이다. 따라서 완비성 공리라는 새로운 공리를 만들어낼 수밖에 없었다.

정리

정수 집합 $\mathbb{Z}$ 의 부분집합 $E$ 가 상한을 갖는다면 $\sup(E) \in E$


완비성 공리가 없다면 이렇게 당연한 사실조차 그 가정이 의심스럽기 때문에 믿을 수가 없다.

Complete?

완비完備는 Compelte의 순화로, 실수 공간 $\mathbb{R}$ 을 넘어 거리 공간에서 일반화될 때 코시 수열의 수렴하는 점들을 포함하는 공간을 완비 공간이라고 정의한다. 다만 일상 속에서 영단어 Complete는 완전히(完) 갖춘다(備)라는 표현으로써 사용하지는 않고, ‘완료’나 ‘완결’ 등 이어지는 무언가의 그 끝과 함께 사용되는 경우가 많다. 이는 언급했듯 수열의 그 끝, 즉 수렴점이 (그 공간 안에) 존재함을 보장한다는 점에서 complete라는 표현이 적절함을 알 수 있다.

물론 코시 수열을 잡는 것과 $E \subset \mathbb{R}$ 을 잡는 것은 다르지만, $\mathbb{R}$ 은 가분성을 가진다는 둥의 설명은 아직 너무 이르다. 나중에 그런걸 또 배우겠구나 하고 넘어가도 된다.


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p16-18 ↩︎

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