제2 종 타원 적분

제2 종 타원 적분

completeincomplete elliptic integral of the second kind


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아래의 적분을 제2 종 완전 타원 적분 이라고 한다. $$ E(k)=\int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta} d\theta $$ 아래의 적분을 제2 종 불완전 타원적분 이라고 한다. $$ E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta $$

위 두 적분의 이름이 타원 적분인 것은 타원의 둘레를 구하는 과정에서 나왔기 때문이다. 타원 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\quad (0<a<b) $$ 가 주어지면 타원의 둘레는 $$ 4bE(k),\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}} $$ 와 같이 구할 수 있다. $k$ 값에 따른 제2 종 완전 타원 적분의 그래프는 아래와 같다.untitled.png 타원의 방정식에서 $a=b$라면 원이 되는데 $E(0)=1.571$이므로 둘레는 $$ 4b\times 1.571=2\pi b $$ 가 되어서 기존의 원둘레 공식이 나오게 된다. 한편 불완전 타원 적분은 특정 각도까지의 타원호의 길이를 나타낸다. 다만 각도 $\theta$는 일반적인 극좌표에서의 각도와 다르며 아래 그림과 같다.2.png

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