컴팩트 곡면이 구(Sphere)일 조건

컴팩트 곡면이 구(Sphere)일 조건

Compact Surface and Sphere

Theorem 1.3

1

정리

$M$을 컴팩트 연결 곡면이라고 하자. 모든 $p \in M$이 엄빌릭이면($\kappa_{1} = \kappa_{2}$), $M$은 스피어이다.

증명

$\mathbf{x} : U \to M$ coordinate patche

$\forall p in M, \kappa_{1} = \kappa_{2}$ and $[L_{j}^{i}] = \begin{bmatrix} \kappa_{1} & 0 \\ 0 & \kappa_{2} \end{bmatrix}$

그러면 $\kappa_{1} = constant$임을 실습시간에 증명했다.

$M$ is compact $\implies$ $\kappa(p) (=(\kappa_{1})^{2}) \gt 0 \implies \kappa \gt 0$ is constant

$\mathbf{n}_{k} = -\kappa_{1} \mathbf{x}_{k}$ $\implies \mathbf{n} = - \kappa_{1} \int \mathbf{x}_{k} d u_{k} = -\kappa_{1}(\lambda -C) here C is constant$

(L(\mathbf{x}_{k}) = L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l} = \kappa_{1}\mathbf{x}_{k} = -\mathbf{n}_{k}) $1 = || \mathbf{n} ||^{2} = (\kappa_{1})^{2} (\mathbf{x} - c) \cdot (\mathbf{x} - c) \implies || x - c|| = \dfac{1}{\kappa_{1}}$

$\implies \mathbf{x} (U) \subset sphere of radius $\dfrac{1}{\kappa_{1}}$ and center$=C$

$\mathbf{y} : V \to M \implies \mathbf{y}(V) \subset sphere of radius $\dfrac{1}{\kappa_{1}$ center$=d$

반지름이 같은 스피어가 중심이 다르면 겹칠 수 없지. 따라서 중심이 같다 $c=d$

$M \subset sphere center at C radius \dfrac{1}{kappa_{1}}$ 컴패트 $\implies M = sphere$

mi

  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p175 ↩︎

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