각운동량과 위치 운동량의 교환자

각운동량과 위치 운동량의 교환자

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각운동량과 위치의 교환자는 다음과 같다. $$ \begin{align*} [L_{z},x]=&\i\hbar y \\ [L_{z},y]=&-i\hbar x \\ [L_{z},z]=&\0 \end{align*} $$

위치와 운동량의 교환자 $$ \begin{align*} [x,p_{x}]=&\i\hbar \end{align*} $$

증명

$$ \begin{align*} [L_{z},x] =&\ [xp_{y}-yp_{x},x] \\ =&\ xp_{y}x-xxp_{y}-(yp_{x}x-xyp_{x}) \end{align*} $$ 서로 다른 성분의 위치와 운동량은 교환 가능하므로 $$ xp_{y}x-xxp_{y} = xxp_{y}-xxp_{y}=0 $$ 따라서 $$ \begin{align*} [L_{z},x] =&\ -yp_{x}x+xyp_{x} \\ =&\ -yp_{x}x+yxp_{x} \\ =&\ y(xp_{x}-p_{x}x) \\ =&\ y[x,p_{x}] \\ =&\ y(i\hbar) \\ =&\ i\hbar y \end{align*} $$ 같은 방식으로 $$ \begin{align*} [L_{z},y] =&\ [xp_{y}-yp_{x},y] \\ =&\ xp_{y}y-yxp_{y}-yp_{x}y+yyp_{x} \\ =&\ xp_{y}y-yxp_{y} \\ =&\ xp_{y}y-xyp_{y} \\ =&\ x(p_{y}y-yp_{y}) \\ =&\ x[p_{y},y] \\ =&\ x(-i\hbar) \\ =&\ -i\hbar x \end{align*} $$ 또한 $z$는 $x$, $y$, $p_{x}$, $p_{z}$ 모두와 교환가능하므로 $$ \begin{align*} [L_{z},z] =&\ [xp_{y}-yp_{x},z] \\ =&\0 \end{align*} $$ 임을 쉽게 알 수 있다.

각운동량과 운동량의 교환자는 다음과 같다. $$ \begin{align*} [L_{z},p_{x}] =&\i\hbar p_{y} \\ [L_{z},p_{y}] =&\ -i\hbar p_{x } \\ [L_{z},p_{z}] =&\0 \end{align*} $$

증명

$$ \begin{align*} [L_{z},p_{x}] =&[xp_{y}-yp_{x},p_{x}] \\ =&\ xp_{y}p_{x}-p_{x}xp_{y}-yp_{x}p_{x}+p_{x}yp_{x} \\ =&\ xp_{y}p_{x}-p_{x}xp_{y} \\ =&\xp_{x}p_{y}-p_{x}xp_{y} \\ =&\ (xp_{x}-p_{x}x)p_{y} \\ =&[x,p_{x}]p_{y} \\ =&\ i\hbar p_{y} \end{align*} $$ 세번째 등호는 $y$와 $p_{x}$가 교환 가능하기 때문에 성립한다. 네번째 등호는 $p_{x}$, $p_{y}$가 교환 가능하므로 성립힌다. 같은 방식으로 $$ \begin{align*} [L_{z},p_{y}] =&[xp_{y}-yp_{x},p_{y}] \\ =&\ xp_{y}p_{y}-p_{y}xp_{y}-yp_{x}p_{y}+p_{y}yp_{x} \\ =&\ -yp_{x}p_{y}+p_{y}yp_{x} \\ =&\ [p_{y},y]p_{x} \\ =&\ - i \hbar p_{x} \end{align*} $$ $p_{z}$는 $x$, $y$, $p_{x}$, $p_{y}$ 모두와 교환 가능하므로 아래의 식이 성립함은 계산해보지 않아도 알 수 있다. $$ \begin{align*} [L_{z},p_{z}] =&\ [xp_{y}-yp_{x},p_{z}] \\ =&\0 \end{align*} $$

각운동량과 위치의 제곱, 운동량의 제곱은 교환 가능하다. 즉 아래의 식을 만족한다. $$ \begin{align*} [L_{z},r^{2}] =&\0 \\ [L_{z},p^{2}]=&\0 \end{align*} $$

증명

교환자의 성질 $(d)$에 의해서 $$ \begin{align*} [L_{z},x^{2}] =&\ x[L_{z},x]+[L_{z},x]x \\ =&\ xi\hbar y +i\hbar yx \\ =&\ 2i\hbar xy \end{align*} $$ 같은 방식으로 $$ \begin{align*} [L_{z},y^{2}] =&\ y[L_{z},y]+[L_{z},y]y \\ =&\ y(-i\hbar x)-i\hbar xy \\ =&\ -2i\hbar xy \end{align*} $$

$$ \begin{align*} [L_{z},z^{2}] =&\ z[L_{z},z] + [L_{z},z]z \\ =&\ 0 \end{align*} $$ 따라서 $$ [L_{z},r^{2}]=[L_{z},x^{2}+y^{2}+z^{2}]=2i\hbar xy-2i\hbar xy+0=0 $$ 위와 같은 방식으로 $$ \begin{align*} [L_{z},p_{x}^{2}]=&\p_{x}[L_{z},p_{x}]+[L_{z},p_{x}]p_{x} \\ =&\2i\hbar p_{x}p_{y} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} [L_{z},p_{y}^{2}]=&\p_{y}[L_{z},p_{y}]+[L_{z},p_{y}]p_{y} \\ =&-2i\hbar p_{x}p_{y} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} [L_{z},p_{z}^{2}]=&\p_{z}[L_{z},p_{z}]+[L_{z},p_{z}]p_{z} \\ =&\0 \end{align*} $$ 따라서 $$ [L_{z},p^{2}]=[L_{z},p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}]=2i\hbar p_{x}p_{y}-2i\hbar p_{x}p_{y}+0=0 $$

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