운동량 연산자와 위치의 교환자

운동량 연산자와 위치의 교환자

commutator of momentum operator and position

정리

공식1

위치와 운동량 연산자교환자는 다음과 같다.

$$ [p,x]=-i\hbar $$

$$ [x,p]=i\hbar $$

위 식을 표준교환관계식canonical commutation relation이라 한다.

공식2

위치의 제곱과 운동량의 교환자는 아래와 같다.

$$ [x^{2},p] = 2i \hbar x $$

$$ [p,x^{2}] = -2i\hbar x $$

설명

$D_{x}$를 미분 연산자라고 하자.

$$ D_{x} := \frac{d}{dx},\quad \frac{df}{dx} = D_{x}f = f_{x} $$

증명

공식1

운동량 연산자는 $p=-i\hbar \dfrac{ d }{ d x }=-i\hbar D_{x}$이므로

$$ \begin{align*} [p,x]\psi =&\ px\psi-xp\psi \\ =&\ -i\hbar D_{x} (x\psi) +i\hbar x D_{x}\psi \\ =&\ -i\hbar\psi -i\hbar x \psi_{x}+i\hbar x\psi_{x} \\ =&\ -i\hbar \psi \end{align*} $$

따라서

$$ [p,x]=-i\hbar= \dfrac{\hbar}{i} $$

또한 $[x,p]=xp-px=-(px-xp)$이므로

$$ [x,p]=-[p,x]=i\hbar $$

공식2

$$ \begin{align*} [x^{2},p]\psi =&\ x^{2}p\psi-px^{2}\psi \\ =&\ x^{2}(-i\hbar D_{x}\psi)+i\hbar D_{x}(x^{2}\psi) \\ =&\ -i\hbar x^{2}\psi_{x}+i\hbar2x\psi +i\hbar x^{2}\psi_{x} \\ =&\ 2i\hbar x \psi \end{align*} $$

따라서

$$ [x^{2},p]=2i\hbar x $$

공식2 다른 증명

교환자의 성질 (4)에 의해서

$$ \begin{align*} [x^{2},p] =&\ x[x,p]+[x,p]x \\ =&\ xi\hbar +i\hbar x \\ =&\ 2i\hbar x \end{align*} $$

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