운동량 연산자와 위치의 교환자

운동량 연산자와 위치의 교환자


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위치와 운동량 연산자교환자는 다음과 같다.

**표준교환관계식$(\mathrm{canonical\ commutation\ relation})$

$$ [p,x]=-i\hbar $$

$$ [x,p]=i\hbar $$

정규교환관계식, 정준교환관계식 등으로 부르기도 한다. 이름이 중요한 건 아니다.미분 표기를 아래와 같이 간단히 나타내겠다. $$ \frac{ d }{ d x}=D_{x},\quad \frac{ d f}{ d x}=f_{x}, \quad D_{x}f=f_{x} $$

증명

운동량 연산자는 $p=-i\hbar \dfrac{ d }{ d x }=-i\hbar D_{x}$이므로 $$ \begin{align*} [p,x]\psi =&\ px\psi-xp\psi \\ =&\ -i\hbar D_{x} (x\psi) +i\hbar x D_{x}\psi \\ =&\ -i\hbar\psi -i\hbar x \psi_{x}+i\hbar x\psi_{x} \\ =&\ -i\hbar \psi \end{align*} $$ 따라서 $$ [p,x]=-i\hbar= \dfrac{\hbar}{i} $$ 또한 $[x,p]=xp-px=-(px-xp)$이므로 $$ [x,p]=-[p,x]=i\hbar $$

위치의 제곱과 운동량의 교환자는 아래와 같다.

$$ [x^{2},p]=2i \hbar x $$

$$ [p,x^{2}]=-2i\hbar x $$

증명

$$ \begin{align*} [x^{2},p]\psi =&\ x^{2}p\psi-px^{2}\psi \\ =&\ x^{2}(-i\hbar D_{x}\psi)+i\hbar D_{x}(x^{2}\psi) \\ =&\ -i\hbar x^{2}\psi_{x}+i\hbar2x\psi +i\hbar x^{2}\psi_{x} \\ =&\2i\hbar x \psi \end{align*} $$ 따라서 $$ [x^{2},p_{x}]=2i\hbar x $$

**다른 증명** 교환자의 성질 $(d)$에 의해서 $$ \begin{align*} [x^{2},p] =&\ x[x,p]+[x,p]x \\ =&\ xi\hbar +i\hbar x \\ =&\ 2i\hbar x \end{align*} $$

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